高一数学教学设计：必修四1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2同角三角函数的基本关系教案
河南师范大学附属中学数学组 张自发
一．学习目标
（1）知识与技能：任意同角三角函数的基本关系及其变形的推导过程，利用基本关系及其变形解决相关问题.
（2）过程与方法：通过基本关系及其变形的推导、证明，培养学生推理论证能力，建构学生数学思想，提升数学思维能力；通过基本关系及其变形的应用提高学生运算能力和分析解决问题的能力.
（3）情感态度与价值观：培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学习数学的兴趣和信心.
二．教材分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》第1.2.2节，课型为新授课，所用的教材为人民教育出版社A版，课时安排为1课时，所用教具主要为多媒体、实物投影仪.
本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、符号表示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续，同时为后续进行三角函数相关内容打下重要基础.因此本节内容具有承前启后的作用.另外，本节内容是三角函数部分的重要内容，是三角计算的基础.
三．学情分析
学生已学习了任意角的三角函数定义，这为本节课学习奠定了必要的知识探究基础.学生已具备了一定的数学推理论证能力，并能进一步猜想、探讨和证明，为本节课的学习奠定了良好的思想基础和能力基础.所以同角三角函数关系式在解题中的灵活选取及使用时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的分类讨论是本节课的一个难点.
四．重点、难点
教学重点：同角三角函数的基本关系及其变形、作用、应用；
教学难点：同角三角函数的基本关系式变形应用.
五．教法特点及预期效果分析
教学模式以启发、诱导教学为主.本节教学从抛出问题，引发学生思考，探究知识开始，到公式在使用时应该注意的问题，再到例题的多种不同解法，直至最后的小结归纳的过程，均由学生通过独立思考和讨论共同完成，真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中，教师的作用是把握教学重难点、教学流程，对学生探究的结果进行归纳总结，对学生不同的解法进行提炼，帮助学生理清思维“脉络”.
本节课要求学生多研究、多动脑、多动手、多体会，学生是演员，是参与者，学生应该有一定兴趣.但另一方面，因为让学生说得较多，对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力.因此，有可能形成课堂气氛不够活跃的情况。本节课采取了循序渐进的推进方式，且教学难度不大，对于绝大多数同学应该能较顺利地接受.
六．教学过程中可能存在的困难
（1）本节课开头出现的探究1是想让学生体会知识的生成过程，但由于学生思考问题角度的差异，学生可能用其他方法解题，绕过“探究”.
（2）本节课练习和例题均可能出现“一题多解”，展示不同的解法，课堂教学时间可能不够，不展示又觉得失去对学生认可、让更多学生体会别人不同思路的机会很可惜.最终形成两难的二选一的境地.
（3）“两个公式”探究后辅以及时练习，学生可以及时体会“同角”的重要，但其他应该注意的事项，学生独立分析时可能有不到位、不全面的情况.
（4）教师要抓住学生的不同解法及时提炼出其中蕴含的数学思想和方法，对教师反应要求较高.
七．学习过程
【问题搜集反馈】
环节一：预习反馈
1.只关注公式的结论，推理论证上欠缺；
2.已知一个角的三角函数值，求这个角的其余两个三角函数值，技巧不够娴熟；
3.基本关系的变形应用不够灵活.
环节二：问题导入
【教师引导】分析产生以上问题的原因在于基本关系不熟，缺乏指导。下面就请同学们利用任意角的三角函数定义探究sinα，cosα，tanα三者之间的基本关系.
【学生探究活动1】利用任意角的三函数定义研究同角三角函数sinα，
cosα，tanα三者之间的基本关系？

【探究1设计目的】利用已知探求未知，提升学生问题的迁移能力、探究、分析解决问题的能力，体验知识生成、衍生过程，构建学生数学思想，提升学生推理论证的思维能力.
环节三：解疑释难
【教师点拨】
（1）平方关系和商数关系是同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，成立的条件是什么？
平方关系:
商数关系:
注意：今后除特殊说明外，我们假定三角恒等式是使两边都有意义的情况下的恒等式.
（2）如何用文字语言描述这两个关系？
（3）请同学们根据同角三角函数的平方关系和商数关系，进一步探究同角三角函数基本关系的变形.先行独立探究，然后组内合议探究交流，整理出小组探究的结论，进行组间交流评比（1组给2组，2组给3组…9组给1组），每一个变形为1分，算出个小组得分.
【学生探究活动2】同角三角函数的基本关系的变形.
【教师点拨】最终获胜小组是第 组，其他小组也不逊色。以上这些变形都是来源于同角三角函数的平方关系和商数关系，下面我们一起再进一步探究同角三角函数基本关系的变形.
结论1：平方关系：的变形.
结论2：商数关系的变形.
请同学们理解体悟2分钟.以上这些变形如何应用呢？首先我们一起探究第一个应用：如何由一个角的三角函数值求这个角的其余两个三角函数值？
【探究2设计目的】
在学生已有知识的基础上引导学生深入探究、推理论证，建构学生数学思想，提升学生思维能力，激发学生由已知探究未知的兴趣，培养学生学习数学的素养.
【学生探究活动3】
1.利用同角三角函数的基本关系的变形，由已知角的三角函数值，求这个角的其余两个三角函数值.
【学生活动】学生 演板，其余同学在下面做，有问题加以补充.由个别探究一般，利用基本关系的变形寻求解题规律.
【教师点评】已知一个角的三角函数值，求这个角的其余两个三角函数值时，可根据平方关系的变形:和商数关系:可求.下面请同学们练习变式1，组内PK,选出做的又对又快的同学为组内最佳优胜个人，时间不超过5分钟，到点各小组长宣读本组最佳优胜个人现在开始：
【练习反馈】
【总结提升】
各小组长宣读本组最佳优胜个人，对获得最佳优胜个人给掌声鼓励！

环节四：拓展提升
【学生探究活动4】
2. 基本关系的变形应用—弦切互化.
【教师导学】先行独立探研，积极主动表达.
【学生探究预设方案】
【教师点评】方案1切化弦但要分类讨论，而方案2弦化切，方案3切化弦可直接带入求值，方案2、3优于方案1，方案2、3实质相同，关键在于的特征，即分子分母中各因式的次数相同，像这样的式子叫做齐次式.引出其次是
定义：分子分母中各因式的次数相同或可转化为相同的式子叫做齐次式.
【学生探究】是否为齐次式呢？若是，应该如转化为齐次式呢？
【教师点拨】可利用数“1”与互化得到齐次式，今后我们要善于利用齐次式进行弦切互化.下面请同学们练习变式1.
【练习反馈】
【教师点评总结】对于已知正切求齐次式或可转化为齐次式的值，要善于进行弦切互化.
3.基本关系的变形应用—同角的正余弦之积可由正余弦之和(差)来表示.
【学生探究活动5】

【教师导学】深入探究，各抒己见.
【学生探究方案预设】
【总结提升】方案2解决方案是整体看待
即同角三角函数的正弦之积、和、差.对这种整体看待问题，不仅要记住，而且要善于使用.下面请同学们做变式1、2.
【练习反馈】
【总结提升】
变式1同学们利用整体看待，做的都很好.对以上问题今后要有整体代换思想，解决此类问题.下面进行当堂检测.
【探究3、4、5设计目的】
学生在学习基本关系变形的基础上先行探究，教师在学生出现问题的基础上给予针对性指导，引导学生学会由特殊到一般的规律探究，教师在学生探究的基础上给予敲定、总结提升，达到通过一题通晓一类题.
环节五：当堂达标

【教师点评】看来大家已经对本节课的内容掌握很好了，但也有极个别学生存在问题，还需通过作业进一步巩固训练.下面进行本节小结.
环节六：总结提升
本节课主要讲了同角三角函数的基本关系及其变形、作用、应用.
第一个应用：已知一个角的三角函数值，求这个角的其余两个三角函数值.
第二个应用：已知正切求齐次式或可转化为齐次式的值，要善于进行弦切互化.
第三个应用：正弦、余弦之积可由正弦、余弦之和或差来表示，解决此类问题要有整体看待思想.
环节七：作业布置
八．板书设计
1.2.2同角三角函数的基本关系
基本关系 变形 作用 应用