高中数学必修5人教版：2.1数列的概念与简单表示法（第2课时）教案

2.1 数列的概念与简单表示法（第2课时）
一、教学目标：
（1）了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
（2）会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
（3）理解数列的前n项和与的关系。
二、教学重点、难点：
重点：数列及其有关概念通项公式及其应用
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
三、教学过程：
课题导入[复习引入]
（1）数列及有关定义
（2）数列的表示方法
通项公式法：如数列0，1，2，3， 4，5，…的通项公式为=－1()；
讲授新课
[范例讲解]
课本P35例2如图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
教师活动：
(1)通过多媒体展示谢宾斯基（Sierpinski）三角形, 引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式。
(2)启发学生仿照函数图象的画法用图象表示数列。具体方法是以项数n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n, )为坐标在平面直角坐标系中做出点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．体会数列的图象是一系列孤立的点。
解（略）
数列的递推公式：
问题：如果一个数列{an}的首项=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即 （※） 你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。
例3 设数列{an}满足

写出这个数列的前五项。
分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例4已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
例5. 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即： 25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数， n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项.
例6. 已知数列{an}的前n项和为,求。
解：当n=1时,
当n≥2时，2n2＋3n＋1－2（n－1）2－3（n－1）－1=4n＋1
所以 6 (n=1)
4n＋1 (n≥2)
说明 由求要注意n=1时的情况。
课堂练习：
P36 [练习] 1、2
课堂小结：本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。
3. 理解数列的前n项和与的关系=
四、课后作业
P38 习题2.1 A组的第4，5题
B组的第1，2，3题
附
习题A
选择题
1．已知数列的通项公式分别为：且a>b。那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是 ( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 无穷多个
2．若数列｛｝的通项公式为=则正确的结论为 （ ）
A.此数列不可以用图象表示 B.此数列的图象只在第一象限 C .此数列的图象为直线y=3x－3 D. 此数列的图象为直线y=3x－3上满足x∈N*的点集
3. 数列｛｝中,若，且，则的值为 （ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 已知数列｛｝满足，且，则 （ ）
A. B C D.无法确定
5．在数列｛｝中，若。则数列｛｝中的最小项为 （ ）
A. B. C. 和 D. 和
6．在数列｛｝中，，，则 （ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
二、填空题
7．已知数列｛｝的前n项和,则= 。
8. 已知数列的通项公式为=,若=-3. 则n= .
三、解答题
9．已知数列｛｝的首项且，数列的通项公式为：。
（1）.求;（2）.求.
10. 已知数列｛｝的前n项和为。求。
11．数列｛｝中，（n∈N*）其中f(x)=
（1）求。（2）。猜想数列｛｝的一个通项公式。
答案（A）
1、（A）由,得
2、（D）数列可视为定义在正整数集或其有限子集上的函数
3、（C）
4、（A）
5、（C）， 当时，，但
所以当或3时，最小
6、（D）
7、当时，
当时，，得
8、
得
9、（1）、因为，则，得 又因为故；
（2）、因为，则，又因为，得：
故
10、当时，；
当时，
所以：
11、（1）.
(2). 猜想
习题B
选择题
1．已知数列的通项公式分别为：且a>b。那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是 ( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 无穷多个
2．若数列｛｝的通项公式为=则正确的结论为 （ ）
A.此数列不可以用图象表示 B.此数列的图象只在第一象限 C .此数列的图象为直线y=3x－3 D. 此数列的图象为直线y=3x－3上满足x∈N*的点集
3. 数列｛｝中,若，且，则的值为 （ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 已知数列｛｝满足，且，则 （ ）
A. B C D.无法确定
5．在数列｛｝中，若。则数列｛｝中的最小项为 （ ）
A. B. C. 和 D. 和
6．
二、填空题
7．已知数列｛｝的前n项和,则= 。
8. 已知数列的通项公式为=,若=-3. 则n= .
三、解答题
9．已知数列｛｝的首项且，数列的通项公式为：。
（1）.求;（2）.求.
10. 已知数列｛｝的前n项和为。求。
11、对于任意函数，可构造一个数列发生器，其工作原理如下：（1）输入数据，经数列发生器输出；（2）若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，在输出，并依此规律继续下去.
现定义.
（1）、若输入，则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；
（2）、若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值.
答案(B)
1、（A）由,得
2、（D）数列可视为定义在正整数集或其有限子集上的函数
3、（C）
4、（A）
5、（C）， 当时，，但
所以当或3时，最小
6、（）
7、当时，
当时，，得
8、
得
9、（1）、因为，则，得 又因为故；
（2）、因为，则，又因为，得：
故
10、当时，；
当时，
所以：
11、（1）、因为的定义域，所以数列只有三项：
.
（2）、因为，即，解得或
所以，当时，；当时，