高中数学必修5人教版：2.3等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和
一、教学目标：
1.掌握等差数列前n项和公式；
2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式.
二、教学重点、难点
1、教学重点：
等差数列前n项和公式的推导和应用.
2、教学难点：
在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.
三.教学过程
（1）、明确数列前n项和的定义，开门见山确定本节课中心任务:
对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记 sn=a1+a2+a3+…+an，
如 S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7
（2）、问题牵引，探究发现
问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？
即: S100=1+2+3+······+100=？
著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。
同学们讨论后发言总结：（高斯用的是偶数个相加时首尾配对，变不同数的加法运算为相同数的乘法运算大大提高效率。）
特点： 首项与末项的和： 1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
· · · · · ·
第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101，
于是所求的和是： 101×50＝5050。
1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050
探索与发现1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石呢？
即计算S21=1+2+3+ ······ +21的值，在这个过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。
动画演示：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？
把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为21个，共21行。有什么启发？
+ 2 + 3 + …… +20 +21
21 + 20 + 19 + …… + 2 +1
S21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231
探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？
（动画演示帮助学生体会出方法）
S8=5+6+7+8+9+10+11+12=
【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出任意项数的等差数列求和都可用倒序相加法，确立倒序相加的思想和方法！
问题2：等差数列1,2,3,…,n, … 的前n项和怎么求？
即：sn =1＋2＋3＋……＋n

【设计意图】进一步强化倒序相加法的理解和运用，为一般的等差数列求和打基础。
问题3：对于一般的等差数列{an}首项为a1，公差为d，它的前n项和公式Sn如何推导呢？
即： =a1+a2+a3+……+an

∴（1）+（2）可得：2
∴（公式一）
公式变形：将代入可得：
（公式二）
【设计意图】学生在前面的探究的基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的前n项和公式，从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和基本性质。
（3）、公式的认识与理解：
1、两个公式的认识： （公式一）
（公式二）
【设计意图】
1、探究两个公式的区别与联系，明确若a1，d, n, an中已知三个量就可以求出Sn 。
2、明确两个公式共涉及五个量a1，d, n, an 和Sn，“知三”可“求二”。
探索与发现3：等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系？
【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆。
四、公式应用、讲练结合
1、练一练：
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
a1=5，an=95，n=10
解：500
a1=100，d=－2，n=50
解：
【设计意图】熟悉并强化公式的理解和应用。
2、例题1：
2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.
据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中 a1=500, d=50
那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为
答: 从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。
3、例题2：
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解：
法1：由题意知
, 代入公式得：
解得,
法2：由题意知
,代入公式得：
，
即，
②①得，，故
由得故

【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。
4、反馈达标:
练习1：在等差数列{an}中，a1=20， an=54，sn =999,求n.
解：由解n=27
练习2： 已知{an}为等差数列，,求公差。
解：由公式得
即d=2
【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想（化归到首项和公差）。
五、归纳总结 分享收获：(鼓励学生大胆总结发言，培养总结和表达能力)
1、倒序相加法求和的思想及应用；
2、等差数列前n项和公式的推导过程；
3、掌握等差数列的两个求和公式,;
4、前n项和公式的灵活应用及方程的思想。
…………
六、作业布置：
（一）书面作业：
1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。
2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列,求这10个数的和。
（二）课后思考：
思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?
【设计意图】通过布置书面作业巩固所学知识及方法，同时通过布置课后思考题来延伸知识拓展思维。