高中数学必修5人教版：3.1不等关系与不等式教案

3.1不等关系与不等式
教学目标：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系；
理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
会用不等式的性质证明简单的不等式．
教学重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．
教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．
教学过程：
一、不等关系
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．
问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤．
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负．
由以上不等关系，可得不等式组：
二、数运算性质与大小顺序之间的关系
；
；
．
不等式的性质
定理1：（对称性）如果a>b，那么bb；即 a>bb证明：
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向．
定理2：（传递性）如果a>b，b>c，那么a>c． 即 a>b，b>ca>c．
证明：
说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：．
定理3：（加法保序性）若a>b，则a+c>b+c，即a>ba+c>b+c．
证明：
推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．
推论2：（加法法则）a>b，c>da+c>b+d．
证明：
推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．
定理4：（乘法保序性）若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac　　　　a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac证明：
推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0ac>bc．
证明：
推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．
推论2：（乘方法则）a>b>0(nN,且n>1)
定理5：（开方法则）若 则(． 即

证明：
练习：课本：P74．
小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．
2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件．
四、应用举例
例1．已知，求证．
证明：
例2．已知，求证：．
证明：
例3．已知，求证．
证明：．，
故 ．
例4．设，求的取值范围．
解：由；
，且，．
由．
例5．设，且．求的取值范围．
解：．
设，
即．
．．
由得，．
．
课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
课后作业
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
七、补充题：
1．设a (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 答：选 (C)．
2．若a,b是任意实数，且a>b，四个不等式，中，能成立的不等式的个数是（ ）
（A）1 　（B）2 　 （C）3 　（D）4 　 答：选（A）．