高中数学必修12.1.2指数函数及其性质教学设计

2.1.2指数函数及其性质教学设计
临漳县第一中学 高一数学组 郭敬敏
一、教学任务分析
本课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修一）（人教版）指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。课标要求理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标
1.知识与技能:(1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.
2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是0＜a＜1,a＞1的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.
4.重点：指数函数的概念性质
难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质
三、教学基本流程

四、课堂教学实录
问题情景
问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂次以后,得到的细胞个数与有怎样的关系.
问题2.有一根长度为1的尺子,第一次截去尺子的一半,第二次再截去剩余尺子的一半,…,截去次后尺子剩余的长度与有怎样的关系.
学生活动
1.思考问题1,2给出y与x的函数关系?
2.观察得到的函数与函数 的区别
3.观察函数,y=(1/2)x与y=ax的相同特点.
建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）
[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y与x之间有怎样的关系?
[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4个细胞,分裂三次得到8所以分裂x次以后得到的细胞为2x个,即y与x之间为.
[生2]:第一次剩下绳子的1/2,第二次剩下绳子的1/4,第三次剩下绳子的1/8,那么剪了x次以后剩下的绳长为1/2x米,所以绳长y与x之间的关系为.
（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）
[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?
[生]:每一个x都有唯一的y与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.
[师]:（接着把打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数,在形式上与函数y=x2有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).
[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而的自变量在底上.
[师]:那么再观察一下,与函数有什么相同点?
[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.
[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）
定义:一般地,函数 (a＞0，a≠1)
叫做指数函数,它的定义域是R.
概念解析1:
[师]:同学们思考一下为什么中规定a＞0，a≠1?(引导学生从定义域为R的角度考虑).（先把a=0，a＜0，a=1显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）
[生]:⑴若a=0,则当x=0时, 没有意义.
⑵若a＜0,则当x取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:.
⑶若a=1,则,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.
所以,我们规定指数函数的底a＞0，a≠1.
概念解析2:
[师]:我们知道形如（a＞0，a≠1）的函数称为指数函数. 通
过观察我们发现：
⑴前没有系数，或者说系数为1.即1*；
⑵指数上只有唯一的自变量x；
⑶底是一个常数且必须满足：a＞0，a≠1.
那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题2）
问题1.⑴，⑵，⑶，⑷
⑸，⑹ (a>－10且a≠－9），⑺，⑻
[生1]:（答）⑴(6)为指数函数.⑵⑶⑷⑸⑺⑻不是.
[生2]:我不同意，(5)应该是指数函数，因为=.
[师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数.所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质.
[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质.
根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？
[生]:（共同回答）列表，描点，连线.
[师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出，和，的函数图象.（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）
[师]:那么我们下面就作出函数：，，，的图象
[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）
[生1]:函数的定义域都是一切实数R，而且函数的图象都位于x轴上方.
[师]:函数的图象都位于x轴上方与x有没有交点？随着自变量的取值函数值的图象与x轴是什么关系？
[生1]:没有.随着自变量x的取值函数的图象与 轴无限靠近.
[师]:即函数的值域是：(0，+∞).那么还有没有别的性质？
[生2]:函数、是减函数，函数、是增函数.
[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此必须说明是在哪个范围内.那么上述的结论可以归纳为：
[生2]:当0＜a＜1时，函数在R上是减函数，当a＞1时，函数在R上是增函数.
[师]:很好，请坐！（提问［生3］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？
[生3]:当自变量取值为０时，所对的函数值为1.一般地指数函数当自变量取０时，函数值恒等于1.
[师]:也就是说指数函数恒过点(0，1)，和底a的取值没有关系.那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x之间有什么关系？1/2
[生3]:由图象可以发现：
当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜f(x)＜1；若x＜0，则1当a＞1时，若x＞0，则f(x)＞1；若x＜0，则0＜f(x)＜1.
[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?
[生4]:函数与的图象关于y轴对称,函数与的图象关于y轴对称,所以是偶函数.
[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?
[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.
[师]:由此我们得到一般的结论,函数与的图象关于y轴对称.
[师]: 很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.
巩固与练习：[师]:.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:
问题1.已知函数为指数函数，求a的取值范围.（屏幕上给出问题）
[生]:由于3a-2作为指数函数的底因此必须满足：
回顾小结：
1.y=ax(a＞0，a≠1)，x∈R要能根据概念判断一个函数是否为指数函数.
2.指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）.
3.利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象.
五、教学反思：
本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。教学情景的设置，让学生体验到指数函数的价值，和我们平时的生活是夕夕相关的生活中处处能遇到指数函数,激发他们的学习兴趣和学习热情。
本堂课的学习任务，都是以问题的形式出现，这有利于培养学生提出问题的意识和能力，让学生体会研究数学的方法，有利于学生自主构建知识结构。问题的圆满解决，增加学生的自信心，增强他们学习数学的兴趣。合作讨论探究到最后解决问题，还培养了学生的互助精神！
本堂课还运用了多媒体教学，教师成了整合信息技术和学科教学的探索者，信息技术的应用加大了师生，生生间信息交流，在平等的对话和共同参与的教学活动中，共同体验了数学的美。
六、板书设计
一、指数函数的概念 三、例题解析
二、指数函数的图像和性质 四、课堂练习