高中数学必修四：1.1.2弧度制（教、学案）

1. 1.2 弧度制
【教学目标】
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
【教学重难点】
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
【教学过程】
（一）复习引入.
复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系
提出问题：
①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？
② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？
③ 角的范围是什么？如何分类的？
（二）概念形成
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
(1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？
(3)弧度是如何定义的？
(4)角度制与弧度制的区别与联系?
2．学生动手画图来探究：
(1)平角、周角的弧度数
(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
3．角度制与弧度制如何换算？

rad 1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1) （2） (3) (4)
解：(1) （2） (3) (4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
解：(1) （2） (3)
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)
解：（1）108 o (2)200.5 o (3)114.6 o (4)45 o
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）— （3）
解：（1）15 o （2）-240 o （3）54 o
弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4
变式练习：
1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案：
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　2 　倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm2 　．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为　　 　．
课堂小结：
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（四）作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。
（五）课后检测
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
答案：A= B= C=
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
答案：
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
答案：
〖板书设计〗
1.1.2 弧度制
（一）复习引入
概念形成 例1 例2
（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式
例3
小结：


1.1.2 弧度制
课前预习学案
一、预习目标：
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
二、预习内容
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
角的弧度制是如何引入的？
为什么要引入弧度制？好处是什么？
弧度是如何定义的？
角度制与弧度制的区别与联系?
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数？
2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
课内探究学案
一、学习目标
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；
4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算；
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程
（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？
（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：
，的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
（三）角度与弧度的换算

rad 1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1) （2） (3) (4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）— （3）
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
变式练习 1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　 　倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　 　．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为　　 　．
课堂小结：
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（七）作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。
课后练习与提高
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。