高中数学必修四：1.4.2正弦函数余弦函数的性质（教、学案）

1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第一课时>
班级 姓名
【教学目标】1、通过创设情境,如单摆运动、四季变化等,让学生感知周期现象;
2、理解周期函数的概念;
3、能熟练地求出简单三角函数的周期。
4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域和值域);
【教学难点】正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.
【教学过程】
复习巩固
1、画出正弦函数和余弦函数图象。
2、观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：
定义域
值域
y=sinx
y=cosx
3、下列各等式是否成立？为什么？
（1）2 cosx=3， （2）sinx=0.5
4、 求下列函数的定义域:(1)y=; (2)y=.
二、预习提案（阅读教材第34—35页内容，完成以下问题：）
1、什么是周期函数？什么是函数周期？
注意：①定义域内的每一个x都有?（x+T）= ?（x）。
②定义中的T为非零常数，即周期不能为0。
<小试身手>等式sin(30o+120o)=sin30o是否成立？如果这个等式成立，能否说120o是正弦函数y=sinx，x∈R.的一个周期？为什么？
2、什么是最小正周期？
3、正弦函数和余弦函数的周期和最小正周期：
周期
最小正周期
y=sinx
y=cosx
<注>在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.
三、探究新课
例1 求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(-),x∈R.
练习：求下列函数的周期:
（1），x∈R （2），x∈R
（3），x∈R （4），x∈R
四、规律总结
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ), (其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω≠0,x∈R)的周期为T=.可以按照如下的方法求它的周期:
y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+)+φ］=Asin(ωx+φ).
于是有f(x+)=f(x),所以其周期为.
五、感悟思考
六、作业布置 习题1.4A组 第3题
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第二课时>
班级 姓名
【教学目标】1、会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
2、能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心。
3、通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定弦函数的单调区间。
【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括单调性、值域、奇偶性、对称性)。
【教学难点】利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
【教学过程】
复习相关知识
1、填写下表
奇函数
定义
图象
偶函数
定义
图象
2、填写下表中的概念
增函数
减函数
单调增区间
单调减区间
最大值及其在图象中的体现
最小值及其在图象中的体现
3、什么是中心对称、轴对称图形？什么是对称中心、对称轴?
二、预习提案（阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：）
1、观察正余弦曲线：
知：正弦函数是 函数，余弦函数是 函数。并用奇偶函数的定义加以证明。
2、判断下列函数的奇偶性：①=, ②=, ③，
④。
3、观察函数y=sinx,x∈［-,］的图象，填写下表:
x
-
…
0
…
…
π
…
sinx
小结：正弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
4、观察函数y=cosx,x∈[-π,π] 的图象，填写下表:
x
-π
…
-
…
0
…
…
π
cosx
小结：余弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
5、由上可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.最值情况如下：
Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.
Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.
6、观察正余弦曲线，解读正、余弦函数的对称性：
正、余弦函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
函数
对称中心
对称轴
正弦函数y=sinx(x∈R)
余弦函数y=cosx(x∈R)
三、探究新课
例1 下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.
(1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.
练习1、请写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=2cos+1, x∈R; (2)y=2sinx, x∈R.
例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:
(1)sin(-)与sin(-); (2)cos()与cos().
练习2、教材第41页第5题
例3 函数y=sin(x+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.
练习3、教材第40-41页第4、6题
四、课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.
五、作业布置 习题1.4 A组2。（2） （4）；4。（2） （4）；5。（2）