高中数学必修四：2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教、学案）

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义
一、教学内容分析
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
二、教学目标设计
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
三、教学重点与难点
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
四、教学用具准备
多媒体、实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
1．设置情境：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。
　　师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
　　生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反。
　　师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
2．探索研究
1）定义：
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
　　可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
　　实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：
　　（1）.
　　（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.
2）运算律：
　　问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
　　生：，.
　　师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
　　（1）；　（2）；　（3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
　　3）向量平行的充要条件：
　　请同学们观察，，回答、有何关系？
　　生：因为，所以、是平行向量.
　 引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
　　生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反.
　　师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
　　对此定理的证明，是两层来说明的：
　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
　　其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．
　 解：∵
　 ∴与平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.
思考：如何用来表示？ （）
3．例题与练习：
题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：
用、表示； （2）用、表示.
题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：

题3：如图，已知，，，求证：∽
练习：
P145 1、2、3、4
4．课堂小结：
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
5．作业布置：
练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5.
P89习题3 B组 2、3.
6．拓展思考题：
设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。
七、教学建议与说明
1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系，位移与速度的关系等实际问题引入实数与向量的积。
　　2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。
　　3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
课前预习学案
预习目标：
通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。
预习内容：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。
　　师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：


师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
课内探究学案
学习目标：
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
学习过程：
1、探索研究
1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
　　可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
　　实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：
　　（1） .
　　（2） .
2）运算律：
　　问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
　　生： .
　　师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
　　（1）；　（2）；　（3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
　　3）向量平行的充要条件：
　　请同学们观察，，回答、有何关系？
　　生： .
　 引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
　　生： .
　　师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
　　对此定理的证明，是两层来说明的：
　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
　　其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．
　 解：∵
　 ∴与平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.
思考：如何用来表示？
2．例题与练习：
题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：
用、表示； （2）用、表示.
题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：

题3：如图，已知，，，求证：∽
练习：
P145 1、2、3、4
3．课堂小结：
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
4．作业布置：
练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5.
P89习题3 B组 2、3.
5．拓展思考题：
设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。