3.1.3 两个向量的数量积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律．(重点)
3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．(难点、易混点)
1.通过两向量的数量积的学习，培养学生的数学运算素养.
2.借助于求两向量的夹角、模及判断两向量垂直，提升学生的逻辑推理素养.
1．空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
思考：等边△ABC中，与的夹角是多少？
[提示] 120°
2．两个向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
3．两个向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
1．下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0
B [对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故A错误．
对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．
在D中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．
对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，
∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．]
2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于( )
A．14 B. C．4 D．2
B [∵|a－2b＋3c|2＝(a－2b＋3c)·(a－2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＝14，∴|a－2b＋3c|＝.]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
120° [∵cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.]
数量积运算
【例1】 如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；
(2)·；
(3)(＋)·(＋)．
[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．
[解] (1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈，〉
＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，
所以EF綊AC，
于是·＝||||cos〈，〉
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos〈，〉
＝×1×1×cos 120°＝－.
(3)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝2＋·－2·＋·＋2－2·
＝1＋－2×＋＋1－2×＝1.
?1?要牢记公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
?2?在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如易错写成60°.为避免出错，应结合图形进行计算.
1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
[解] 如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝·＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝(－＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
利用数量积求夹角和模
[探究问题]
1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？
[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．空间向量数量积的性质有什么作用？
[提示] (1)向量模的应用：式子|a|＝可以解决有关空间长度问题．
(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．
(3)数量积的应用：两非零向量a，b，若a·b＝0，则两向量对应的直线相互垂直．
【例2】 (1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
(2)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．
[思路探究] (1)先求·，再由夹角公式求cos〈，〉，并由此确定与所成角的余弦值．
(2)用向量和用已知向量、、表示出来，再用数量积的定义运算．
[解] (1)∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，
∴·＝－2＝－1.
又||＝，||＝＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
(2)∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴||＝，即对角线AC1的长为.
同理，||2＝·＝(＋－)·(＋－)
＝||2＋||2＋||2＋2(·－·－·)＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.
∴||＝，即对角线BD1的长为.
1．(改变结论)若把本例(1)中的结论“求异面直线BA1与AC所成角的余弦值”改为“求向量与夹角的余弦值”结果如何？
[解] 由本例(1)解析可知与夹角的余弦值是－.
2 .(改变条件、改变结论)本例(2)中，若E为CC1的中点，求AE的长．
[解] ＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2·＋·＋·
＝1＋1＋＋2cos 60°＋cos 60°＋cos 60°
＝4，
∴||＝.
(1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：
(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．
利用数量积解决垂直问题
【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
[思路探究] 证明·＝0.
[证明] 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)
＝·－·
＝||·||cos∠AOC－||·||cos∠AOB
＝0，所以⊥，即OA⊥BC.
?1?证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
?2?证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
2．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
[证明] ∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0.
∴·＝(＋)·(－)
＝·＋·－||2－·
＝·－||2－·
＝·(－－)＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
1．思考辨析
(1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等． ( )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)． ( )
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. ( )
[提示] (1)× 互补．
(2)× (a·b)·c与c共线，a(b·c)与a共线，但c与a不一定共线．
(3)√
2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
C [2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，2·＝2＝a2，故C正确．]
3．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为，则a·b＝________.
1 [a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝1.]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则
(1)〈，〉＝________；
(2)〈，〉＝________；
(3)〈，〉＝________.
(1)45° (2)135° (3)90°
[(1)因为＝，所以〈，〉＝〈，〉．
又∠CAB＝45°，所以〈，〉＝45°.
(2)〈，〉＝180°－〈，〉＝135°.
(3)〈，〉＝90°.]
课件50张PPT。第三章 空间向量与立体几何 3．1 空间向量及其运算
3.1.3 两个向量的数量积互相垂直a⊥b.非零[0，π]λ(a·b)a·c＋b·cb·aa·b＝0|a|2－|a|·|b|.|a|·|b|点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 两个向量的数量积
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，
即2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝0，而|a|＝|b|，
∴2cos〈a，b〉＋1＝0，∴cos〈a，b〉＝－.
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝120°，选C.]
2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是( )
A.＝－ B.·＝0
C.·＝0 D.·＝0
D [如图，＝－，⊥，⊥，故A，B，C选项均正确．]
3．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么 ( )
A.·＜·
B.·＝·
C.·＞·
D.·与·不能比较大小
C [因为E是BC的中点，AB＝AC，故⊥，即·＝0.不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，且，，的夹角为60°，则·＝(＋)·(－)＝(·－·＋·－·)＝－＜0，故选C.]
4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
B [由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.]
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
C [＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·
＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，
又||＝2，||＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴a与b所成的角是60°.]
二、填空题
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
[|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×cos＋22＝7，
∴|a＋b|＝.]
7．设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________；(2a＋b－3c)2＝________.
－62 373 [(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2a2＋9c·b－6a·c＝3|a||b|cos 90°－2|a|2＋9|c||b|cos 60°－6|a||c|cos 60°＝－62；(2a＋b－3c)2＝4a2＋b2＋9c2＋4a·b－12a·c－6b·c＝4|a|2＋|b|2＋9|c|2＋4|a||b|cos 90°－12|a||c|cos 60°－6|c|·|b|cos 60°＝373.]
8．如图所示，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝________，|－|＝________.
2 [|＋|＝||＝2；
＝，
·＝2×2×cos 60°＝2，
故|－|2＝2
＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝.]
三、解答题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
[解] 由题意知||＝，
||＝，＝＋，＝＋＋，∵PA⊥平面ABCD，
∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，
∵AB⊥BC，∴·＝0，
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＝||2＝1，又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.
10．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．
求证：OG⊥BC.
[证明] 连接ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝·(a·c－a·b＋b·c－|b|2＋|c|2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
[能力提升练]
1．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为 ( )
A．－ B. C. D.
B [如图，由图知直线AM与CN所成角等于〈，〉.＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝，
||＝＝＝，||＝＝.∴cos〈，〉＝＝＝.]
2．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
[由AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2得cos〈，〉＝cos〈，〉＝，
cos〈，〉＝，AN＝CM＝2.
又＝＋，＝－，
∴·＝·
＝·＋·－·－2
＝×3×2×＋×3×2×－×3×3×－×9＝－7.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直线AN与CM所成角的余弦值为.]
