3.1.4 空间向量的直角坐标运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)
3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、易混点)
通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
1．空间向量的坐标表示
空间直角坐标系及空间向量的坐标
(1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
(2)空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．
思考1：若a＝x1e1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示] 不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
2．空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
3.空间向量的平行、垂直及模、夹角
(1)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)
则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
||＝.
(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos〈a，b〉＝
cos〈a，b〉＝
思考2：若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？
[提示] 不一定．A点与原点重合是，不与原点重合则不是．
1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.]
2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
D [4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．]
3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
60° [∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝3，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°.]
空间向量的坐标表示与运算
【例1】 (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
①，，；
②，，.
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)、(1,3,4)、(0，－1,4)、(2，－1，－2)；若p＝，q＝.求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q)．
[解] (1)①＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，＝＋＋＝＋＋＝.
②＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
(2)由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
①p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)；
②3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
(1)用坐标表示空间向量的步骤
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
1．如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
[解] 因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，所以＝.
空间向量的平行与垂直
[探究问题]
1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？
[提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
2．空间中三点共线的充要条件是什么？
[提示] 三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是＝＝.
简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有＝＝.
【例2】 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[思路探究] 先求a，b，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解．
[解] (1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
故所求k的值为2或－.
1．(变条件)若将本例(1)中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.
[解] a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)．
设c＝(x，y，z)．
由题意得
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝(2，－2,1)或c＝(－2,2，－1)．
2．(变条件)若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”求k的值．
[解] ∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)．
所以ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k,4)．
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1，k，－2)·(k－2，k,4)＝(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝.
故所求k的值为－2或.
解决空间向量垂直、平行问题的思路
?1?若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝?x，y，z?.
?2?在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解.
?3?选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的.
利用坐标运算解决夹角、距离问题
【例3】 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[思路探究] 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．
[解] (1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，易知E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.
∵＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)由(1)易知＝－(0,1,1)＝，
＝，
∴||＝，||＝，
·＝×0＋×＋×(－1)＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)由(1)知F，H，
∴＝，
∴||＝＝.
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.
2．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求与夹角的余弦值．
[解] 如图，以，，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝
＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即与夹角的余弦值为.
1．思考辨析
(1)已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(－1,1，－1)． ( )
(2)向量a＝(2，－3,1)与向量b＝(－4,6，－2)平行． ( )
(3)若向量a＝(1，－1,2)与向量b＝(x,2，－1)垂直，则x＝4.
( )
[提示] (1)× 向量的坐标与B点的坐标不同．
(2)√ (3)√
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
D [由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝.]
3．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B. C．4 D．2
A [设＝λ，又＝(0,4，－3)，
则＝(0,4λ，－3λ)．
又∵＝(4，－5,0)，
∴＝－＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
由·＝0，得0×(－4)＋4×(4λ＋5)＋(－3)×(－3λ)＝0，解得λ＝－，
∴＝，∴||＝5.]
4．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
120° [由于＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
所以·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，||＝，||＝，
所以cos θ＝cos〈，〉＝＝－，
则θ＝120°.]
课件59张PPT。第三章 空间向量与立体几何 3．1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的直角坐标运算单位正交基底．坐标向量．坐标．(a1，a2，a3)．点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一) 空量向量的直角坐标运算
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．－2
A [∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.]
2．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．－6 B．2 C．6 D．8
C [a⊥b?(1,5，－2)·(m,2，m＋2)＝0?m＋10－2m－4＝0?m＝6.]
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
C [由cos〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝－2或λ＝.]
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，
＝(2，－3,1)，∴||＝＝，
||＝＝，||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．]
5．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A. B. C. D.
C [∵a－b＝(1－t,1－t，t)－(2，t，t)
＝(－1－t,1－2t,0)，
∴|a－b|＝＝
＝，∴|a－b|min＝.]
二、填空题
6．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.
(－4,2，－4) [∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．
又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，
∴λ＝－2.∴z＝(－4,2，－4)．]
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.
[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，
又a·c＝4，∴b·c＝－18，
又|c|＝3，|b|＝12，
∴cos〈b，c〉＝＝－，
∵〈b，c〉∈[0，π]，∴〈b，c〉＝.
8．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．
2 [设点P(x，y，z)，则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则
解得即P(－1,3,3)，
则||＝＝＝2.]
三、解答题
9．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．
[解] (1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，
所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
所以所以
(2)向量(－3，－4,5)的模为＝5，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±·(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，
即和.
10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝.
(1)求证SC⊥BC；
(2)求SC与AB所成角的余弦值．
[解] (1)因为∠SAB＝∠SAC＝90°，所以SA⊥AB，SA⊥AC且AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，如图所示，取A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由AC＝2，BC＝，SB＝，得C(0,2,0)，B(－，2,0)，S(0,0,2)．
所以＝(0,2，－2)，＝(，0,0)．
因为·＝0，所以SC⊥BC.
(2)设SC与AB所成的角为θ，
因为＝(－，2,0)，
所以·＝4，
又||||＝4×＝4，
所以cos θ＝＝.
[能力提升练]
1．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.]
2．已知向量a＝(1－t,2t－1,3)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A．2 B. C. D．2
D [由题知a－b＝(－1－t，t－1,3－t)，则|a－b|＝＝.易知当t＝1时，|a－b|有最小值，为2，故选D.]
3．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma＋b，若c∥d，则实数m的值为________．
－ [c＝a－2b＝(－1,2,1)，d＝ma＋b＝(m＋1,2m,3m＋1)．c∥d?＝＝，解得m＝－.]
4．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
(－∞，－2) [a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，
由题意得cos〈a，b〉＝＜0，
所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2，
又a与b不可能平行，
所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．]
5．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求||的长．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，
F，G，
∴＝，＝，＝，＝.
(1)证明：∵·＝×＋×＋×0＝0，∴⊥，即EF⊥CF.
(2)∵·＝×1＋×0＋×＝，
||＝＝，
＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
(3)||＝＝.
