圆锥曲线定义的应用
【例1】 (1)已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )
A．9 B．5 C．8 D．4
(2)若点M(1,2)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
(1)A (2)8－2 [(1)设右焦点为F′，则F′(4,0)，依题意，有|PF|＝|PF′|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.
(2)设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝2，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.]
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.
提醒：应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.
1．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
B [设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，
∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.]
2．在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是图中的( )
A [设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，代入坐标，得|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a.当y＞0时，y＝当y≤0时，y＝结合选项可知A正确，故选A.]
圆锥曲线性质的应用
【例2】 (1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是，求双曲线方程．
(1)A [如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
由PF⊥x轴得
P.
设E(0，m)，
又PF∥OE，得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝.
故选A.]
(2)[解] ∵e＝＝，∴＝，∴a2＝4b2，设双曲线－＝1上一点B(x，y)，则|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4b2＋4y2＋(y－1)2＝5y2－2y＋4b2＋1＝52＋4b2＋.当y＝时，|AB|取得最小值，为，即＝，∴b2＝1，双曲线方程为－y2＝1.
圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.
3．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
A [如图：以OF为直径的圆的方程为x－2＋y2＝，①
又x2＋y2＝a2，②
①－②得交线PQ的直线方程为：x＝，
代入②，得y＝±，
又|PQ|＝|OF|，
则2＝c，∴a＝b，e＝，
故选A.]
直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例3】 已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点．
(1)若抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
(2)对于(1)中的椭圆C，若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，求λ1＋λ2的值．
[解] (1)根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，
∴F(1,0)，∴c＝1，
又∵抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，
∴b＝，∴b2＝3.∴a2＝b2＋c2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵直线l与y轴交于M，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴＋＝(*)，
又由＝λ1，∴＝λ1(1－x1，－y1)，
∴λ1＝－1－，
同理λ2＝－1－，
∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－，
∴λ1＋λ2＝－.
直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有：?1?有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；?2?有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；?3?有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算.
4．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．
(1)求曲线C的方程及t的值；
(2)记d＝，求d的最大值．
[解] (1)y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，
∴1－＝，p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.
(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，
依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)，
且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，
故k·2m＝1，
∴直线AB的方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，
整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.
从而|AB|＝·|y1－y2|
＝·
＝2.
∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，
当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，
又m＝满足Δ＝4m－4m2＞0.
∴d的最大值为1.
数学思想在圆锥曲线中的应用
【例4】 已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求·的最小值．
[解] (1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.
(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，
与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
又易得点R的坐标为，
∴·
＝·
＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4
＝4＋8.
∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想在圆锥曲线的综合问题应用广泛，主要涉及最值、范围、探索问题及曲线方程的求法等问题.
5．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)求证|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
[解] (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y＝－(x－1)，点A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4，
故四边形MPNQ的面积S＝|MN|·|PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．
课件42张PPT。章末复习课点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
B [椭圆9x2＋y2＝36变形为＋＝1，∴a2＝36，b2＝4，∴b＝2，短轴长为2b＝4.]
2．抛物线y＝16x2的准线方程是( )
A．x＝4 B．x＝－4
C．y＝ D．y＝－
D [由抛物线方程x2＝y，可知抛物线的准线方程是y＝－.]
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 ( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
D [点P的轨迹是以MN为直径的圆，又P为直角三角形的顶点，∴点P不能与M，N两点重合，故x≠±2.]
4．已知椭圆＋＝1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，则x1＋x2的值为( )
A．4 B．8
C．16 D．无法确定
B [由题意，得＋＝2×，化简得x1＋x2＝8.]
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B. C. D.
A [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
故双曲线的一个焦点是(1,0)，
所以m＋n＝1，且＝2，
解得m＝，n＝，
故mn＝.]
6．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于点O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
A [∵折痕所在的直线是线段AQ的垂直平分线，
∴|PA|＝|PQ|.又|PA|＋|OP|＝r(r为圆形纸片的半径)，∴|PQ|＋|OP|＝r＞|OQ|.由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．]
7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
B [由题可知抛物线的焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2，令x＝0，可得点A的坐标为，所以S△OAF＝××＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.]
8．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为A(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
C [由已知可得交点A(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，所以a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点A(3,4)，故3b＝4a.联立解得故选C.]
9．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
D [不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，a)．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝，故选D.]
10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝3，则|QF|＝( )
A. B. C．3 D．6
B [示意图如图，抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2，准线与x轴的交点为N(－2,0)，|FN|＝4.过点Q作准线的垂线，垂足为M，则由抛物线的定义知|QM|＝|QF|.因为＝3，所以|PQ|＝2|QF|＝2|QM|.又由三角形相似，得＝，所以|QM|＝×4＝，所以|QF|＝|QM|＝.故选B.]
11．直线y＝x与椭圆C：＋＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [设直线y＝x与椭圆C：＋＝1在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为(c，c)，又点A在椭圆C上，故有＋＝1，因为b2＝a2－c2，所以＋＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝，又C是椭圆，所以012．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是 ( )
A．2 B．3 C. D.
B [如图，可设A(m2，m)，
B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，
则＝(m2，m)，＝(n2，n)，
·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，
即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，
解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)，点C为直线AB与x轴的交点．
S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为3.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
2 [设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.]
14．已知双曲线－＝1(a，b＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．
3x2－y2＝1 [由题意可得e＝＝2，则c＝2a，
设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，
那么d＝＝＝b＝1，
而c2＝4a2＝a2＋b2，解得a2＝，
则所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.]
15．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.]
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
y＝±x [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
[解] (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，
∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，
∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
[解] 依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)．
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×，∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1.
又点P在双曲线上，∴－＝1.
由得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分)已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
[解] (1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．
由得x＝±，
所以圆P的半径为.
当圆P与x轴相切时，
|t|＝，解得t＝±.
所以点P的坐标是.
20．(本小题满分12分)已知抛物线x2＝2py(p>0)与直线3x－2y＋1＝0交于A，B两点，如图，|AB|＝，点M在抛物线上，MA⊥MB.
(1)求p的值；
(2)求点M的坐标．
[解] (1)将y＝x＋代入x2＝2py，
得x2－3px－p＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，x1x2＝－p.
|AB|＝
＝＝，
化简得144p2＋64p－25＝0，解得p＝或p＝－(舍)．
(2)由(1)得A(1,2)，B.
设点M(x0，y0)，由MA⊥MB得·＝0，
即(x0－1)＋(y0－2)＝0.
将y0＝2x代入得(x0－1)＋4(x0－1)(x0＋1)·＝0，
又x0≠1且x0≠－，所以1＋4(x0＋1)＝0，
解得x0＝0或x0＝－，
所以点M的坐标为(0,0)或.
21．(本小题满分12分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
[解] (1)依题意知F1坐标为(－c,0)，
设M点坐标为(－c，y)．
若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，则直线AB的斜率k＝.
(A点坐标为(a,0)，B点坐标为(0，b)时，同样有k＝－)
则有＝，∴y＝.①
又∵点M在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1.②
由①②得＝，∴＝，
即椭圆的离心率为.
(2)设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c.
在△F1QF2中，cos θ＝
＝＝－1
≥－1＝0.
当且仅当m＝n时，等号成立，
∴0≤cos θ≤1，又∵θ∈(0，π)，
∴θ∈.
即∠F1QF2的取值范围是.
22．(本小题满分12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点(A，B均不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解] (1)由题目条件，知e＝＝.①
左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离d＝＝.②
联立①②，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得
(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
所以Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＝－48(m2－3－4k2)＞0，即3＋4k2－m2＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，
所以kAD·kBD＝－1，即·＝－1，整理得y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，即＋＋＋4＝0，即7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m＝－2k或m＝－，显然都满足3＋4k2－m2＞0.
当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；
当m＝－时，l：y＝k，直线过定点.
综上可知，直线l过定点，定点坐标为.
