空间向量及其运算
【例1】 (1)在空间四边形O-ABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用基向量，，表示向量.
(2)已知三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
①求以AB，AC为边的平行四边形的面积．
②若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．
[解] (1)如图，连接AG并延长交BC于点D.
∴D为BC的中点，
∴＝(＋)．
∵G为△ABC的重心，∴＝＝(＋)，
又∵＝－，＝－，
∴＝(＋)＝(－2＋＋)．
∵M为OA的中点，∴＝－.
∴＝－＝(－2＋＋)＋＝－＋＋.
(2)①由题意，可得＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
所以cos〈，〉＝＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
②设a＝(x，y，z)，由题意，得，
解得或.
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
?1?向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
?2?熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝?x1，y1，z1?，b＝?x2，y2，z2?，
加减运算：a±b＝?x1±x2，y1±y2，z1±z2?.
数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
向量夹角：cos〈a，b〉＝.
向量长度：设M1?x1，y1，z1?，M2?x2，y2，z2?，
则＝r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2).
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.
1．已知a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b＜0，即3t－＜0，所以t＜.
若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb，
即(5,3,1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的范围是∪.
利用空间向量证明平行、垂直问题
【例2】 四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面FCD.
[证明] 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E.
(1)＝，＝(a，a,0)．
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝，
因为·n＝(a,0，－b)·＝0，
所以⊥n，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)，
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，
所以m＝，
因为·m＝(0，a,0)·＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
?1?证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
?2?证明线面平行的方法
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
?3?证明面面平行的方法
转化为线线平行、线面平行处理.
证明这两个平面的法向量是共线向量.
?4?证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
?5?证明线面垂直的方法
证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
?6?证明面面垂直的方法
转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.
2．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D.
(1)求证：A1C⊥平面AMN.
(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置．
[解] (1)因为CB⊥平面AA1B1B，
AM?平面AA1B1B，所以CB⊥AM，
又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，
所以AM⊥平面A1BC，
所以A1C⊥AM，
同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，
所以A1C⊥平面AMN.
(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为AB＝2，AD＝2，A1A＝3，
所以C(0,0,0)，A(2,2,0)，A1(2,2,3)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，C1(0,0,3)，因为M，N分别在BB1，DD1上，所以设N(2,0，z)，M(0,2，y)，
则＝(－2,0，y)，＝(0，－2，z)，
＝(－2,0，－3)，＝(0，－2，－3)，因为AM⊥A1B，AN⊥A1D，
所以解得
所以＝，＝，
由(1)知A1C⊥平面AMN.
设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝3，得n＝(2,2,3)，
设线段AA1上存在一点P(2,2，t)，使得C1P∥平面AMN，则＝(2,2，t－3)，
因为C1P∥平面AMN，所以·n＝4＋4＋3t－9＝0，
解得t＝.所以P，
所以线段AA1上存在一点P，使得C1P∥平面AMN.
利用空间向量求角
【例3】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：PQ⊥AB；
(2)求二面角P-QB-M的余弦值．
[解] (1)在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD.
又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB.
(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，
所以四边形BCDQ为平行四边形．
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB.
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，C(－1，，0)，B(0，，0)，＝(0，，0)．
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB，
即为平面PQB的一个法向量，
且＝(1,0,0)．
因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为，所以＝.
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，
令z＝1，得x＝，y＝0，所以m＝(，0,1)，
所以cos〈，m〉＝＝.
由题意，知二面角P-QB-M为锐角，
所以二面角P-QB-M的余弦值为.
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．
3．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．
[解] (1)由长方体ABCD-A1B1C1D1可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，又因为BE⊥EC1，EC1∩C1B1＝C1，EC1?平面EB1C1，C1B1?面EB1C1，
∴BE⊥平面EB1C1.
(2)以CD，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
设AE＝A1E＝1，∵BE⊥面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB＝1，设E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，
∵BC⊥EB1，
∴EB1⊥面EBC，故可取平面EBC的法向量为m＝＝(－1,0,1)．
设平面ECC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由
可得
令x＝1，则n＝(1，－1,0)，
∴cos〈m，n〉＝＝－，
故二面角B-EC-C1的正弦值为.
数学思想在向量中的应用
【例4】 如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．
[解] 作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P，D，
O(0,0,2)，M(0,0,1)，
N.
(1)证明：＝，
＝，＝.
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·＝0，n·＝0，得
令z＝，得n＝(0,4，)．
∵·n＝×0＋×4＋(－1)×＝0，
∴⊥n.
又MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD.
(2)设异面直线AB与MD所成的角为θ.
∵＝(1,0,0)，＝，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴与所成的角为.
故异面直线AB与MD所成的角θ＝π－＝.
空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法.这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论.这样就把立体几何问题转化为为空间向量来研究，体现了化归与转化思想.
4．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，AB⊥BC，如图所示，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD.
(1)求证：CD⊥AB.
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．
(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，AB⊥BC，所以AD＝AB＝，BD＝＝2，∠DBC＝∠ADB＝45°，
CD＝＝2，
所以BD2＋CD2＝BC2，所以CD⊥BD.
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，所以CD⊥AB.
(2)由(1)知CD⊥BD.以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，过点D作垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，由已知得A(1，0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以＝(0，－2,0)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)．
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝0，·n＝0，即
令x＝1，得z＝－1，y＝0，则平面ACD的一个法向量为n＝(1,0，－1)，所以点M到平面ACD的距离为d＝＝＝.
(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°.设＝λ(0<λ<1)，N(a，b,0)，则(a－2，b,0)＝λ(－2,2,0)，
所以N(2－2λ，2λ，0)，＝(1－2λ，2λ，－1)．
又平面ACD的一个法向量为n＝(1,0，－1)，且直线AN与平面ACD所成的角为60°，所以sin 60°＝，
即＝，可得8λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝或λ＝－(舍去)．
综上所述，在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°，此时＝.
课件53张PPT。章末复习课点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝，则z等于( )
A. B．－
C．± D．±
C [cos〈a，b〉＝＝＝，可得z＝±.]
2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是 ( )
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B.]
3．已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为三条直线l1，l2，l3的方向向量，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
A [因为a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.]
4．已知正四面体A-BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝( )
A. B. C．－ D．－
D [由正四面体A-BCD的棱长为1，且＝2，＝2，得＝，则·＝·＝×1×cos 120°＝－，故选D.]
5．如图所示，在正方形网格中，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任意一点，则下列向量能表示向量的为( )
A．O＋2＋2 B.－3－2
C.＋3－2 D.＋2－3
C [根据A，B，C，P四点共面的条件，可知＝x＋y.由图知x＝3，y＝－2，故＝＋＝＋3－2，故选C.]
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B. C. D.
D [由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴]
7．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则＋＋等于( )
A. B.
C. D.
C [∵M，G分别是BC，CD的中点，∴＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝.]
8．已知四面体O-ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
C [＝－＝－，＝－，于是||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，于是cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.]
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
C [设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10
＝62－，
故当λ＝时，·取最小值，
此时Q.]
10．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为( )
A. B．－ C. D．－
A [取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，
如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0,0,1)，
则＝.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量，
∴cos〈，〉＝－，
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
则sin α＝|cos〈，〉|＝.]
11．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
C [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.
]
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.
其中错误的结论是 ( )
A．① B．② C．③ D．④
C [如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0，0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．
又||＝，||＝，||＝，
所以△ACD为等边三角形．②正确．
对于③，为平面BCD的一个法向量，
cos〈，〉＝
＝＝＝－.
因为直线与平面所成的角∈[0°，90°]，
所以AB与平面BCD所成角为45°.
故③错误．
又cos〈，〉＝
＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以AB与CD所成角为60°.故④正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
(0，－1,0) [设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．]
14．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，则α，β所成二面角中较小的一个角的余弦值为________．
[设α，β所成二面角中较小的一个角为θ，
由题意得，cos θ＝|cos〈a，b〉|
＝＝＝.]
15．如图所示，已知二面角α-l-β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．
[因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.
所以||＝，
即AD的长为.]
16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出下列四个命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角为60°；
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是________．
①② [①设正方体的棱长为1，则(＋＋)2＝2＝3,32＝3，故①正确；②中－＝，∵AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成的角为60°，但向量与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0，故④也不正确. ]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．
[解] ∵＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋[－(＋)]
＝－＋＋，
∴＝－a＋b＋c.
∵||2＝2＝2
＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝，
∴||＝，
即BN的长为.
18．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．
(1)试用a，b，c表示；
(2)求证：MN∥平面ABB1A1.
[解] (1)∵＝－
＝c－a，∴＝＝(c－a)．
同理，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b；
(2)∵＝＋＝a＋b，∴＝，即MN∥AB1，∵AB1?平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1.
19．(本小题满分12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
[解] (1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0°，180°]，
∴∠BAC＝60°，∴S＝||||sin 60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).
20．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a，∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)＝－a＋c，＝b＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求证：OE∥平面PDC；
(3)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
[解] (1)证明：设F为DC的中点，如图连接BF，AF，PF，
则DF＝AB.
∵△PAB和△PAD均为正三角形，∴AB＝AD.
∴AB⊥AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形．
∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点．
∵PD＝PB＝2，∴PO⊥BD.
∵BD＝＝2，
∴PO＝＝，AO＝BD＝.
在△PAO中，PO2＋AO2＝PA2＝4，∴PO⊥AO.
∵AO∩BO＝O，∴PO⊥平面ABCD.
(2)证明：由(1)知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，∴过O分别作AD，AB的平行线，以它们为x，y轴，以OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得：A(－1，－1,0)，B(－1,1,0)，D(1，－1,0)，F(1,1，0)，C(1,3,0)，P(0,0，)，E，
则＝，＝(1,1，－)，＝(1，－1，－)，＝(1,3，－)，∴＝－，∴OE∥PF.
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，∴OE∥平面PDC.
(3)设平面PDC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，直线CB与平面PDC所成角为θ，
则即
解得令z1＝1，
则平面PDC的一个法向量为n＝(，0,1)．
又＝(－2，－2,0)，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为.
22．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF?平面PEF，EF?平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF.
可得PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
