1．1 命题与量词
1．1.1 命题
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解命题的概念，并能判断命题的真假．(重点、易混点)
2．了解命题的构成形式，能把命题改写成“若p，则q”的形式，并能判断其真假．(难点)
1.通过对命题有关概念的理解，培养学生的数学抽象素养．
2．通过对命题真假判断，提升学生的逻辑推理素养.
1．命题的概念
(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
思考1：依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题．
①三角形外角和为360°；
②连接A，B两点；
③计算3－2的值；
④过点A作直线l的垂线；
⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？
[提示] 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：如何判断一个命题的条件和结论各是什么？
[提示] 将一个命题改写成“若p，则q”的形式判断．
1．下列语句中，不能成为命题的是 ( )
A．8＞15 B．x＜0
C．梯形是四边形 D．三角形三条中线交于一点
B [“x＜0”不能判断真假，故不是命题．]
2．下列命题中，真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c＞b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A [①②④是假命题，③是真命题．]
3．指出下列命题中的条件p和结论q：
(1)若x<0，则x2<0；
(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
[解] (1)条件p：x＜0，结论q：x2＜0.
(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数．
命题的概念
【例1】 (1)下列语句：
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
②一个数的算术平方根一定是非负数；
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请完成第九题；
⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．
其中是命题的是________(填序号)．
(2)下列语句中是命题的有________(填序号)．
①平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③x·y为有理数，则x，y也都是有理数；
④作△ABC∽△A′B′C′.
(1)②③⑤ (2)②③ [(1)①不是命题，因为它不是陈述句；
②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根；
③是命题，是假命题，例如－＋＝0,0不是无理数；
④不是命题，因为它不是陈述句；
⑤是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．
(2)①疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
②是假命题.0既不是正数也不是负数．
③是假命题．如x＝，y＝－.
④是祈使句，不是命题．]
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
1．下列语句中是命题的是________(填序号)．
①求证是无理数；②x∈R，x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④并非所有人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数；⑥如果x＋y和xy都是有理数，那么x，y都是有理数；⑦60x＋9>4；⑧如果x∈R，那么x2＋4x＋7＞0.
②④⑤⑥⑧ [①是祈使句，不是命题．②x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断此陈述语句的真假，故它是命题．③是疑问句，不是命题．④是命题，人群中有喜欢苹果的人，也有不喜欢苹果的人，所以可判断该陈述语句的真假，故它是命题．⑤是命题，整数1既不是质数，也不是合数，所以该陈述句为假，所以它是命题．⑥是命题，＋(－)和·(－)都是有理数，但，－都是无理数，所以该陈述语句为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命题．⑧是命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，对于x∈R，不等式恒成立，所以该陈述语句为真，是命题．故填②④⑤⑥⑧.]
命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.
[思路探究] 真命题的判断一般需要经过严格的推理论证，而假命题的判断只需举出一个反例即可．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
?1?真命题的判定方法
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
?2?假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
提醒：一个命题为“真”或“假”是唯一确定的，不存在亦真亦假的命题.
2．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)如果x∈N，则x3＞x2成立；
(3)如果m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
[解] (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，但1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．
命题结构形式
【例3】 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)末位数是0的整数能被5整除；
(2)偶函数的图象关于y轴对称；
(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列．
[思路探究] 先确定命题的条件与结论，再改写；若命题中的条件与结论比较隐含，要补充完整．
[解] (1)若一个整数的末位数字是零，则这个整数能被5整除，为真命题．
(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．
(3)若一个等比数列的公比大于1，则该数列为递增数列，为假命题．
把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么．
提醒：任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
1．思考辨析
(1)“x＞5”是命题． ( )
(2)疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题． ( )
(3)“3＞12”是命题． ( )
[提示] (1)× 不能判断真假．
(2)√ (3)√
2．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④垂直于同一平面的两直线平行．真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①当m不为0时，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；
②当Δ＝4＋4a≥0且a≠0时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③符合集合相等的定义，真命题；
④真命题．∴选B.]
3．给定下列四个命题，其中正确的是 ( )
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；
③若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{3,9}；
④若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{1,3,5}．
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
B [①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②正确；③正确；④A∩B＝{3,9}，∴选B.]
4．有下列四个命题：
①若x·y＝0，则x，y中至少有一个为0；②全等三角形面积相等；③若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解；④2是合数．
其中真命题是________(填上所有正确命题的序号)．
①②③ [④中2是质数．]
课件44张PPT。第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词
1．1.1 命题判断真假陈述句判断真假陈述句真假条件结论．点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 命题
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列语句中，命题的个数为 ( )
①空集是任何非空集合的真子集．
②起立！
③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？
④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]
2．下列命题属于假命题的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若x∈R，则x2＋x＋1>0
D．函数y＝sin x是周期函数
B [|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]
3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是( )
A．四边形是梯形 B．对角线
C．互相平分 D．对角线互相平分
A [命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]
4．下列命题中真命题的个数是 ( )
①平行于同一平面的两个不同的平面平行；
②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；
③方程x2＋y2＝3表示一个圆；
④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①③是真命题，②④是假命题，故选B.]
5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
C [因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]
二、填空题
6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．
①等边三角形是等腰三角形；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③大角所对的边大于小角所对的边．
①②③ ① [①是命题且是真命题；
②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；
③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]
7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．
a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真 [a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]
8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|＜|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中真命题是________．
②④ [①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；
②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)实数的平方是正数；
(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
[解] (1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．
(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．
(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件．
10．已知：A：5x－1＞a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
[解] ①若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x＞1”，由命题为真命题，可知≥1，解得a≥4；
②若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”，由命题为真命题，可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可使得利用A，B构造的命题为真命题，例如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
[能力提升练]
1．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是( )
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
D [如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，显然图中的m∥α，n∥β，且α∥β，但m与n不平行，故①为假命题，可排除A，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m∥α，n⊥β，且α⊥β，但m与n不平行，故④为假命题，可排除B.故选D.
]
图1 图2
2．对于下列四个命题：
①若向量a，b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角；
②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；
③在平面直角坐标平面内，点M(|a|，|a－3|)与N(cos α，sin α)在直线x＋y－2＝0的异侧；
④偶数的平方仍是偶数．
其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．
③④ [命题①错误，当a与b反向时，也有a·b＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A∩B＝A；命题③正确，因为|a|＋|a－3|≥|a－a＋3|＝3＞2，cos α＋sin α＝·sin≤＜2，所以M与N在直线x＋y－2＝0的异侧；命题④正确．]
