1.1.2 量词
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解全称量词与存在量词的含义．(重点)
2．理解并掌握全称命题和存在性命题的概念．(重点)3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．(难点、易混点)
1.通过学习全称命题和存在性命题的有关概念，培养学生的数学抽象素养．
2．通过对两类命题真假判断及利用命题的真假性求参数值(范围)，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．全称量词与全称命题
全称量词
“所有”“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”
符号表示
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中的所有x，p(x)”，可简记为“?x∈M，p(x)”
2.存在量词与存在性命题
存在量词
“有一个”“有些”“至少有一个”
符号表示
?
存在性命题
含有存在量词的命题
形式
“存在集合M中的元素x，q(x)”，可简记为“?x∈M，q(x)”
思考：全称命题与存在性命题有什么区别？
[提示] (1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
(2)存在性命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
1．下列不是全称量词的是 ( )
A．任意一个 B．所有的
C．每一个 D．很多
D [很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．]
2．下列命题为存在性命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
[答案] D
3．存在性命题“?x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．(填“真”或“假)
假 [因为|x|≥0，所以|x|＋2≥2，故不存在x∈R，使|x|＋2≤0.]
4．用量词符号表述下列全称命题：
(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；
(2)对任意实数x，都有x3＞x2；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解] (1)?x∈R，x·(－1)＝－x.
(2)?x∈R，x3＞x2.
(3)?α∈{α|α是任意角}，sin2α＋cos2α＝1.
全称命题与存在性命题的判断
【例1】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)有一个实数α，tan α无意义；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
(4)圆内接四边形的对角互补；
(5)指数函数都是单调函数；
(6)△ABC的内角中有小于60°的角．
[思路探究] 先判断量词类型，再判断命题类型．
[解] (1)含有存在量词“有一个”，是存在性命题．
(2)含有全称量词“任何一条”，是全称命题．
(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题．
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题．
(5)其实是指“所有的指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题．
(6)命题可以改写为“△ABC的内角中有一个角小于60°”，因此是存在性命题．
判定一个语句是全称命题还是存在性命题可分三个步骤：
?1?首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题.
?2?若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题.
?3?当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.
1．判断下列语句是全称命题还是存在性命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数．
[解] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故为存在性命题．
全称命题与存在性命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)?x∈R，x2－3x＋2＝0.
[思路探究] 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识判断．
[解] (1)真命题．
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．
(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．
要判断全称命题“?x∈M，p?x?”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p?x?都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p?x?不成立，那么这个全称命题就是假命题.
要判断存在性命题“?x∈M，p?x?”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p?x?成立即可；如果在集合M中，使p?x?成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题.
提醒：通常用特殊值代入验证全称命题是假命题和存在性命题是真命题.
2．判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1＞0；
(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(3)?x∈Q，x2＝3；
(4)?x∈R，x2－x＋1＝0.
[解] (1)由于?x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0，所以“?x∈R，x2＋1＞0”是真命题．
(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“?x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．
(3)由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“?x∈Q，x2＝3”是假命题．
(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ＜0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“?x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题．
利用全称(存在性)命题求参数值或范围
[探究问题]
1．全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
[提示] 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．
2．全称命题与存在性命题有什么样的特点？
[提示] (1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．
(3)存在性命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．
【例3】 设函数f(x)＝x2＋ax－2，对一切满足x≥1的一切x值，都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
[思路探究] 由于f(x)为二次函数，本题可借助图象，转化为一元二次方程根的分布问题求解，也可利用二次函数的性质，只要求出x≥1时f(x)的最小值，令f(x)min>0即可求出实数a的取值范围．本题也可分离参数a求解．
[解] 法一：由于f(x)对应抛物线开口向上，且在y轴上截距为－2，则满足要求时函数的大致图象如图．
即实数a的取值范围是(1，＋∞)．
法二：要使?x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，只要使f(x)min＞0即可．
f(x)＝2－－2，
①当－≤1，即a≥－2时，
f(x)min＝f(1)＝1＋a－2＝a－1.
由a－1＞0，得a＞1.
②当－＞1，即a＜－2时，
f(x)min＝f＝－－2＞0无解．
综上，实数a的取值范围是(1，＋∞)．
法三：对于?x≥1有f(x)＞0恒成立等价于对于?x≥1，x2＋ax－2＞0，即a＞－x＋恒成立，
设g(x)＝－x＋，即转化为a＞g(x)max.
我们可利用单调性定义判定g(x)＝－x＋在[1，＋∞)上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝－1＋2＝1，
∴a＞1.
综上，实数a的取值范围是(1，＋∞)．
1．(变换条件)若将本例中的“x≥1”改为“x≤－1”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解] 结合本例图象可知
解得a＜－1.
即实数a的取值范围是(－∞，－1)．
2．(变换条件)若将本例中的“f(x)＝x2＋ax－2”改为“f(x)＝ax2＋x－2”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，不满足对一切x≥1都有f(x)＞0，
(2)当a＞0时，要使?x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，
须解得a＞1.
即实数a的取值范围是(1，＋∞)．
?1?含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.
??2?含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
1．思考辨析
(1)在全称命题和存在性命题中，量词可以省略． ( )
(2)“对任意x∈R，x2＋2＞0”是全称命题． ( )
(3)“?x0∈N,4x0＜－3”是存在性命题． ( )
[提示] (1)× 在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．
(2)√ (3)√
2．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
B [A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
3．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R,2x－1＞0
B．?x∈N*，(x－1)2＞0
C．?x∈R，lg x＜1
D．?x∈R，tan x＝2
B [A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；
B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
C中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；
D中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．]
4．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
1 [由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.]
课件43张PPT。第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词
1.1.2 量词??x∈M，p(x)全称量词??x∈M，q(x)存在量词有些有一个点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 量词
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题中为全称命题的是( )
A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
B．矩形都有外接圆
C．存在一个实数与它的相反数的和为0
D．0没有倒数
B [命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]
2．下列命题中为存在性命题的是( )
A．所有的整数都是有理数
B．三角形的内角和都是180°
C．有些三角形是等腰三角形
D．正方形都是菱形
C [A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．]
3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
D [A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]
4．下列存在性命题中，假命题的个数是( )
①存在x∈R，使x2②有些三角函数的周期是π；
③存在x∈R，使函数y＝＋的最小值为2.
A．0 B．1 C．2 D．3
B [由x25．下列命题中的假命题是 ( )
A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0
C [选项A，lg x＝0?x＝1；选项B，tan x＝1?x＝＋kπ(k∈Z)；选项C，x3＞0?x＞0；选项D,2x＞0?x∈R.]
二、填空题
6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“?”写成存在性命题为________．
?x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0 [根据存在性命题的定义改写．]
7．下列命题中为全称命题的是________(填所有正确的序号)．
①三角形两边之和大于第三边；
②所有的x∈R，x3＋1>0；
③有些函数为奇函数；
④平行四边形对角相等．
①②④ [③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．]
8．下列语句中，全称命题有________，存在性命题有________．(填序号)
①有一个实数a，a不能取对数；
②所有不等式的解集A都满足A?R；
③三角函数都是周期函数吗？
④有的向量方向不定；
⑤自然数的平方是正数．
②⑤ ①④ [因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题．综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．]
三、解答题
9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
[解] (1)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是存在性命题，用符号表示为“?x∈R，＝2”，是假命题．
10．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p和q”都是真命题，求实数a的取值范围．
[解] ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.
∴a≤－2或a≥1.
又p和q都为真，∴
∴a≤－2或a＝1.
[能力提升练]
1．下列命题中，是假命题的是 ( )
A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．?a＞0，函数f(x)＝(ln x)2＋ln x－a有零点
C．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β
D．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
D [∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A中的命题为真命题；∵y＝(ln x)2＋ln x的值域为，∴?a＞0，方程(ln x)2＋ln x－a＝0有解，即函数f(x)有零点，故B中的命题为真命题；当α＝，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C中的命题为真命题；当φ＝时，f(x)＝sin＝cos 2x为偶函数，故D中的命题为假命题．]
2．已知对?x>0，a≤x＋恒成立，则a的取值范围为________．
(－∞，2] [ ?x＞0，y＝x＋≥2(当且仅当x＝时等号成立)，
所以min＝2；而对?x>0，a≤x＋恒成立，所以a≤2.]
