1.2.2 “非”(否定)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．(重点)
2．了解逻辑联结词“非”的初步应用．
3．掌握全称命题与存在性命题的否定．(难点、易混点)
通过对逻辑联结词“非”的理解，培养学生正确否定某命题的数学抽象、逻辑推理素养.
1．逻辑联结词“非”
(1)命题的否定：一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
思考1：观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．
[提示] 两组命题中，命题q都是命题p的否定．
“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集?UA.
2．全称命题的否定
全称命题p
綈p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
全称命题的否定是存在性命题
思考2：用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
[提示] 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
3．存在性命题的否定
存在性命题p
綈p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
存在性命题的否定是全称命题
思考3：对省略量词的命题怎样否定？
[提示] 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．
1．命题“平行线不相交”中( )
A．没有使用任何一种逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“非”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“且”
B [“平行线不相交”表示平行线相交的否定，使用了逻辑联结词“非”，故选B.]
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )
A．“p或q”为假，“非q”为假
B．“p或q”为真，“非q”为假
C．“p且q”为假，“非p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为假
B [显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.]
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．由他们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A [容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，綈p是假命题，故选A.]
4．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否定为________．
[答案] 若a＜b，则2a≥2b
“綈p”命题的构成与真假判断
【例1】 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)若x，y是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数；
(4)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
[解] (1)若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．
(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．
(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题．
(4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．
(1)一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：
正面
词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
有
是
都是
全是
否定
词语
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
无
不是
不都是
不全是
正面
词语
任意的
任意两个
至少有一个
至多有一个
所有的
至多有n个
或
否定
词语
某个
某两个
一个也
没有
至少有两个
某些
至少有
n＋1个
且
(2)当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题綈p的真假，当命题綈p为真时，命题p为假，当命题綈p为假时，命题p为真．
提醒：若命题p是真命题，则綈p是假命题；若命题p是假命题，则綈p是真命题．
1．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：y＝sin x是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)一元二次方程至多有两个解．
[解] (1)綈p：y＝sin x不是周期函数．命题p是真命题，綈p是假命题．
(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题．
(3)綈p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，綈p是假命题．
(4)綈p：一元二次方程至少有三个解．命题p是真命题，綈p是假命题．
命题的否定的真假应用
【例2】 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或
由于?
解得0
因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数范围，再求其补集.
2．已知命题p：|m＋1|≤2成立．命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若綈p为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
[解] |m＋1|≤2?－2≤m＋1≤2?－3≤m≤1，
即命题p：－3≤m≤1.
方程x2－2mx＋1＝0有实数根?Δ＝(－2m)2－4≥0?m≥1或m≤－1，
即命题q：m≥1或m≤－1.
因为綈p为假命题，p∧q为假命题，则p为真命题，所以q为假命题，綈q：－1＜m＜1.
由?－1＜m＜1.
即m的取值范围是(－1,1)．
全称命题和存在性命题的否定及应用
[探究问题]
1．全称命题和存在性命题有什么关系？
[提示] (1)结构关系的认识
①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外.
②存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外．
③两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
(2)真假性的认识
全称命题的否定与全称命题的真假性相反；存在性命题的否定与存在性命题的真假性相反．
2．全称命题与存在性命题的否定的关键是什么？
[提示] (1)全称命题的否定
全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键．
(2)存在性命题的否定
存在性命题的否定是一个全称命题，给出存在性命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在性命题否定的关键．
【例3】 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)对任意实数x，x2＋1≥0；
(4)某些平行四边形是菱形；
(5)?x∈R,5x2＋1＜0；
(6)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
[思路探究] (1)全称命题的否定是存在性命题，否定全称命题时可分两步：第一步将全称量词“?”改为存在量词“?”，第二步将结论否定．
(2)存在性命题的否定是全称命题，否定存在性命题时可分两步：第一步将存在量词“?”改为全称量词“?”，第二步将结论否定．
[解] (1)命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”．因为0是自然数，所以为真命题．
(2)命题的否定是“存在实数x不是方程5x－12＝0的根”．真命题．
(3)命题的否定是“存在实数x，使得x2＋1＜0”．假命题．
(4)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(5)命题的否定是“不存在x∈R，使5x2＋1＜0”，即“?x∈R,5x2＋1≥0”.5x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．
(6)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
1．(变换条件)本例(4)改为“某些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假．
[解] 命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”，即“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题．
2．(变换条件)本例(4)改为“某些菱形是平行四边形”，写出该命题的否定并判断真假．
[解] 命题的否定是“没有一个菱形是平行四边形”，即“每一个菱形都不是平行四边形”，由于菱形是平行四边形，所以该命题为假命题．
?1?否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质进行否定.否定存在性命题时，首先把存在量词换为全称量词，再对性质进行否定.
?2?全称命题和存在性命题的真假性与其否定的真假性相反.
提醒：全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
1．思考辨析
(1)全称命题与存在性命题的否定只需否定其结论，无需改写量词． ( )
(2)“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“?x∈R，x2－2x＋1＜0”．
( )
(3)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”． ( )
[提示] (1)× 先更换量词(全称量词换为存在量词，存在量词改为全称量词)，再将结论否定．
(2)√ (3)√
2．已知U＝R，A?U，B?U，命题p：∈A∪B，则綈p是( )
A.?A B.∈?UB
C.∈A∩B D.∈(?UA)∩(?UB)
D [綈p：?A∪B，即∈(?UA)∩(?UB)，故选D.]
3．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题(綈p)∨(綈q)表示( )
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
D [綈p表示“甲的试跳成绩不超过2米”，綈q表示“乙的试跳成绩不超过2米”，故(綈p)∨(綈q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”．]
4．命题p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零，则綈p：________，为________命题．(填“真”或“假”)
若m2＋n2＝0，则m，n不全为零 假 [綈p：若m2＋n2＝0，则m，n不全为零，为假命题．]
课件56张PPT。第一章 常用逻辑用语 1．2 基本逻辑联结词
1.2.2 “非”(否定)否定p的否定假真存在性 全称 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) “非”(否定)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知命题p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
B [当x＞0时，x＋1＞1，因此ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，因此q为假命题．则p∧綈q为真命题．]
2．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为( )
A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2,3}
C [由题意知q真，p假，∴|x－1|＜2，∴－1＜x＜3且x∈Z，∴x＝0,1,2.]
3．对于p：x∈A∩B，则綈p( )
A．x∈A且x∈B B．x?A或x∈B
C．x?A或x?B D．x∈A∪B
C [因原命题等价于x∈A且x∈B，所以綈p为x?A或x?B.]
4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：?x∈A,2x?B
B．綈p：?x?A,2x?B
C．綈p：?x?A,2x∈B
D．綈p：?x∈A,2x?B
D [全称命题p：?x∈A,2x∈B的否定是把量词“?”改为“?”，并对结论进行否定，即把“∈”改为“?”．
全称命题p：?x∈A,2x∈B的否定是綈p：?x∈A,2x?B，故选D.]
5．已知命题p：函数f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若綈p为真，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m≤
C．m≥2 D．m＜2
C [由f(x)＝－(5－2m)x是减函数知5－2m>1，所以m<2，所以当綈p为真时，p为假，所以m≥2，故选C.]
二、填空题
6．命题“?x∈R，x2－x＋4≠0”的否定是________．
?x∈R，x2－x＋4＝0 [全称命题的否定为存在性命题．]
7．命题“若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为零”的否定为________．
若abc＝0，则a，b，c全不为零 [“a，b，c中至少有一个为零”的否定为“a，b，c全不为零”．]
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
{－1,0,1,2} [若p真，则x2－x－6≥0，解得x≥3或x≤－2.又因为“p∧q”“綈q”都是假命题，所以q为真命题，p为假命题，故有得x∈{－1,0,1,2}．
三、解答题
9．写出下列命题的否定．
(1)若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y全为零；
(2)已知x，y均为非负实数，若x＋y＝0，则x＝0且y＝0；
(3)面积相等的三角形都是全等三角形；
(4)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零．
[解] (1)命题的否定：若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y不全为零．
(2)命题的否定：已知x，y均为非负实数，若x＋y＝0，则x≠0或y≠0.
(3)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形．
(4)命题的否定：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．
10．已知命题p：?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
[解] 根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
∵?m∈[－1,1]，
不等式a2－5a－3≥，
∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2＜0，
∴Δ＝a2－8＞0，
∴a＞2或a＜－2，
从而命题q为假命题时，
－2≤a≤2，
∴命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为[－2，－1]．
[能力提升练]
1．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0
D [全称命题的否定是存在性命题，“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)＞n”．]
2．若命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
[－1,3] [∵命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，
∴命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，
即对应的判别式Δ＝(a－1)2－4≤0，即(a－1)2≤4，
∴－2≤a－1≤2，即－1≤a≤3.]
