1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．3.1 推出与充分条件、必要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(重点)
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(易混点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明．(重点、难点)
1.通过充分条件、必要条件、充要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．通过命题间充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
(2)若p?q，但qp，称p是q的充分不必要条件，
若q?p，但pq，称p是q的必要不充分条件．
思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？
[提示] 不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．
2．充要条件
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？
[提示] 是．因为p?q，q?r，所以p?r，所以p是r的充要条件．
1．若α∈R，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α＜cos α；而当sin α＜cos α时，－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，故“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．]
2．“x>0”是“＞0”成立的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [x>0显然能推出＞0，而＞0?|x|＞0?x≠0，不能推出x>0，故选A.]
3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [由a－c>b－d变形为a－b＞c－d，
因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，
∴a－c＞b－d?a＞b.
而a>b并不能推出a－c＞b－d.
所以a>b是a－c>b－d的必要不充分条件．
故选B.]
4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [命题p：(x－1)(y－2)＝0?x＝1或y＝2.
命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2.
由q?p成立，而由pq成立．]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 (1)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|的”( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(3)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(1)C (2)C (3)C [(1)设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cos θ，若|a·b|＝|a||b|?cos θ＝±1，则向量a，b的夹角θ为0或π，即a∥b为真；若a∥b，则向量a，b的夹角θ为0或π，|a·b|＝|a||b|，所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件．特别地，当向量a或b为零向量时，上述结论也成立．故选C.
(2)构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b?f(a)＞f(b)?a|a|＞b|b|.故选C.
(3)设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．故选C.]
充分条件和必要条件的两种判断方法
?1?定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件p是什么，结论q是什么；
②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；
③确定条件p和结论q的关系.
?2?集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A＝{x|p?x?}，B＝{x|q?x?}，若A?B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.
提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6；
(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
[解] (1)在△ABC中，
显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为：x＝2且y＝6?x＋y＝8，
但x＋y＝8x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，pq，
又取∠A＝30°，∠B＝120°，qp，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
充要条件的探求与证明
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[思路探究] 充分性：由q＝－1推出{an}是等比数列；
必要性：由{an}是等比数列推出q＝－1.
[证明] (1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
当n＝1时也成立．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p，
即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
∵{an}为等比数列，
∴＝p.
∴＝p，∴q＝－1，
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p?q”和“q?p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面.但是，在表述中要注意两种句式的不同，分清充分性与必要性对应的关系.
如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p?q”成立，必要性是指“q?p”成立.
而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q?p”成立，必要性是指“p?q”成立.
提醒：在充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清命题的条件是什么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明，即用等价转化法进行推理证明.
2．已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
[证明] ①充分性：若点P满足＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1，
消去y，得＝x＋(1－x)
＝x(－)＋，
∴－＝x(－)，
即＝x.
∴点P在直线AB上，即点P在直线l上．
②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使得＝t＝t(－)，
∴＝＋＝＋t－t
＝(1－t)＋t.
令1－t＝x，t＝y，则＝x＋y，
其中x，y∈R，且x＋y＝1.
利用充分(必要)条件求参数的值(或范围)
[探究问题]
1．綈p是綈q的必要不充分条件的等价命题是什么？
[提示] q是p的必要不充分条件．
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？
[提示]
若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
【例3】 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
[思路探究] 解出集合P，把x∈P是x∈S的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
[解] 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.
提醒：要注意区间端点值的检验.
1．思考辨析
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ( )
(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．
( )
(3)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件． ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√
2．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
D [可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”．故选D.]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1的图象关于x＝1对称，反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.]
4．下列命题中是假命题的是________．(填序号)
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“A∩B≠?”是“AB”的充分条件；③“b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为R”的充要条件；④“sin αβ”的充分条件；⑤“M>N”是“log2M>log2N”的充要条件．
①②③④⑤ [当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之，例如x＝1，y＝5，x＋y>5，但x<2，故①为假命题；当A＝{1,3}，B
＝{1,2}，A∩B＝{1}，但AB，故②为假命题；ax2＋bx＋c<0的解集为R等价于故③为假命题；当0>M>N时，log2M，log2N无意义，故⑤为假命题．故填①②③④⑤.]
课件52张PPT。第一章 常用逻辑用语 1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．3.1 推出与充分条件、必要条件充分必要不充分充分不必要必要充分且必要 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 推出与充分条件、必要条件
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由x3＞8?x＞2?|x|＞2，反之不成立，
故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．
故选A.]
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( )
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①中，周期函数还有很多，如y＝cosx，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.]
3．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.]
4．已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [∵若m?α，n?α，且m∥n，则一定有m∥α，
但若m?α，n?α，且m∥α，则m与n有可能异面，
∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
故选A.]
5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B．0＜a＜
C.＜a＜1 D．a≤0或a＞1
A [因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点?函数y＝2x的图象(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合(图略)可知a≤0或a＞1，根据集合之间的关系{a|a＜0}{a|a≤0或a＞1}，可知选A.]
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
－ [x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.]
7．若p：x(x－3)<0是q：2x－3[3，＋∞) [p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3.q：2x－3＜m，即x＜.由题意知p?q，qp， 如图所示，则≥3，解得m≥3.]
8．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
[0,2] [由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|x＜m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴或∴0≤m≤2.]
三、解答题
9．设x，y∈R，求证：“|x＋y|＝|x|＋|y|”的充要条件是“xy≥0”．
[证明] 充分性：若xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况．
当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
当xy＞0时，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.
又当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y.
∴|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y.
∴|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
∴当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：
若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上，可知“|x＋y|＝|x|＋|y|”的充要条件是“xy≥0”．
10．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 由≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，
∴綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．
∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴AB.
结合数轴有或解得0＜m≤3.
即m的取值范围是(0,3]．
[能力提升练]
1．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．条件p：0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [因为圆心C(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2，若半径r＝3，则圆C上恰有三个点到直线x－y＋3＝0的距离为1.故若02．给出如下三个命题：
①“2a>2b”是“ma>mb”的充要条件；
②在△ABC中，“∠A>60°”是“sin A>”的充要条件；
③已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若綈q是綈p的充分不必要条件，则m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
其中正确的命题是________．
③ [若2a>2b，则a>b，而此时ma>mb不一定成立，若ma>mb，当m>0时，则a>b，此时2a>2b，当m<0时，此时a2b”是“ma>mb”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△ABC中，∠A＝150°时，sin A<，故命题②错误；若綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．由p：－1≤x≤4，所以由一元二次方程根的分布可得，(－1)2－6×(－1)＋9－m2≤0，解得m≤－4或m≥4.故正确的命题是③.]
