1.3.2 命题的四种形式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．(重点)
3.会利用命题的等价性解决问题．(难点、易混点)
1.通过学习四种命题的概念及其它们之间的关系，培养学生的数学抽象素养.
2.利用命题的等价性解决问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．四种命题
栏目
内容
名称
定义
表示形式
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题
原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题
原命题为“若p，则q”；否命题为“若綈p，则綈q”
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题
原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若綈q，则綈p”
思考1：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？
[提示] 因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．
2．四种命题间的相互关系
(1)形式关系
(2)真假关系
①互为逆否的两个命题是等价的，它们有相同的真假性．
②互逆或互否的两个命题是不等价的，它们的真假性没有关系．
思考2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？
[提示] 互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误．
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
C [由原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题．]
2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
A [两个命题条件与结论互换，故互为逆命题．]
3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是 ( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
D [原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．]
4．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的否命题为________，是________命题(填“真”或“假”)．
已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2≠0，则λ≠0或μ≠0 真 [否命题即把原命题的条件和结论都否定．]
四种命题之间的转换
【例1】 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)如果x＞10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[解] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，
那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，
那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.
提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.
1．命题：“若a·b≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．
若a，b至少有一个为零，则a·b＝0 [由“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”可得．]
2．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)当c>0时，若a>b，则ac＞bc；
(2)正数m的平方大于0.
[解] (1)逆命题：当c>0时，若ac＞bc，则a＞b；
否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc；
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.
(2)逆命题：若m2>0，则m>0；
否命题：若m≤0，则m2≤0；
逆否命题：若m2≤0，则m≤0.
四种命题间的关系及真假判断
【例2】 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
[解] (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，
则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，
则m·n≥0，真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
3．下列命题：
①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中真命题是________．
①②③ [①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“如果a>b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.]
4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；
(2)相等的两个角的正弦值相等；
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；
(4)若x∈A，则x∈A∩B.
[解] (1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b.真命题；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B.真命题；
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b.真命题．
(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．
(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；
否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；
逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．
(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；
否命题：若?A，则x?A∩B.真命题；
逆否命题：若x?A∩B，则x?A.假命题.
等价命题的应用
[探究问题]
1．四种命题中相互等价的命题是________与________，________与________．
[提示] 原命题 逆否命题 逆命题 否命题
2．直接证明原命题有困难时，应如何证明？
[提示] 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．
【例3】 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[思路探究] 可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．
[解] 法一：逆否命题为：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
对应方程的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即抛物线与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故逆否命题为真．
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥.
因为a≥>1，所以原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真．
法三：命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集，命题q：a≥1.
所以命题p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝.
命题q：B＝{a|a≥1}．
因为A?B，所以“若p，则q”为真，
所以“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真，
即原命题的逆否命题为真．
1．(改变问法)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a＜2”的逆命题的真假．
[解] 逆命题为：已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
对应方程的判别式Δ＝4a－7，
因为a＜2时，4a－7＜1，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定为空集．
故逆命题为假命题．
2．(变换条件)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集是R，则a<”的逆否命题的真假．
[解] 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0，
所以a<.所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．
(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．
(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．
1．思考辨析
(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题． ( )
(2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题． ( )
(3)命题“若x2＞y2，则x＞y”的否命题是“若x≤y，则x2≤y2”． ( )
[提示] (1)√ (2)√
(3)× “若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”．故“若x2＞y2，则x＞y”的否命题为“若x2≤y2，则x≤y”．
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[答案] D
3．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是( )
A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b
C．若a≤b，则a2＞b2 D．若a≤b，则a2≤b2
[答案] B
4．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________；否命题是________；逆否命题是________．
[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5.
课件56张PPT。第一章 常用逻辑用语 1．3 充分条件、必要条件与命题
的四种形式
1.3.2 命题的四种形式结论若q，则p逆命题互逆命题．条件条件的否定结论的否定否命题结论的否定逆否命题否定条件的等价没有关系．不等价相同点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 命题的四种形式
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0
B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0
C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0
D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
D [a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.故选D.]
2．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数
C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数
B [原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数．故选B.]
3．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [因原命题为真，故逆否命题也为真；又因该题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”为假命题，所以它的否命题也为假命题．]
4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
C [当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．故选C.]
5．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B
(1)
真
原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题.
(2)
假
原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题.
(3)
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题.
(4)
假
该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题.
二、填空题
6．已知命题“若m－1[1,2] [由已知，得原命题的逆命题为“若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1”为真命题，∴
∴1≤m≤2.]
7．给出以下命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2＞b2的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
其中真命题的个数为________．
1 [命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；因为命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，由x2＋x－6≤0，得－3≤x≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．]
8．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②“若x＋y≠8，则x≠2或y≠6”；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
①②④ [①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴①是真命题．
②其逆否命题为真，故②是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．]
三、解答题
9．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解] 逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．因为函数f(x)，g(x)有可能都是偶函数．
否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．
逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数，该命题是真命题．
10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解] (1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b＜－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与题设相矛盾，
∴逆命题为真命题．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．
∵一个命题?它的逆否命题，可证明原命题为真命题．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
∴原命题为真命题．
∴逆否命题为真命题．
[能力提升练]
1．命题“若△ABC有一个内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
D [原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为”，它是真命题．故选D.]
2．给出下列命题：
①命题“在△ABC中，若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形”的逆命题；
②命题“若a>b>0，则a>b>0”的逆否命题；
③命题“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＜0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
①② [①命题“在△ABC中，若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”，为真命题；②命题“若a＞b＞0，则a＞b＞0”为真命题，故其逆否命题也为真命题；③“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)<0的解集为R”的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)<0的解集为R，则m>1”，由于mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＜0的解集为R?m＜－，故逆命题为假命题．]
