2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.
2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)
3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质.
1.通过由方程研究曲线的性质，培养学生直观想象素养.
2.借助由曲线求它的方程，提升学生逻辑推理、数学运算素养.
1．解析几何研究的主要问题
(1)由曲线求它的方程．
(2)利用方程研究曲线的性质．
2．求曲线的方程的步骤
思考：求曲线方程的步骤是否可以省略．
[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明．
1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是( )
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
B [C的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点．]
2．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是( )
A．x＝0 B．x＝0(0≤y≤3)
C．y＝0 D．y＝0(0≤x≤2)
[答案] B
3．平面上有三点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
y2＝8x(x≠0) [＝，＝，
由⊥得2x－＝0，即y2＝8x(x≠0)．]
由方程研究曲线的性质
【例1】 写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．
[解] (1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大．
∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．
(2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称．
(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，
∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2.
(4)画方程的曲线：
列表：
x
－1
0
1
2
3
…
y
0
±2
±2.83
±3.46
±4
…
描点作图如图所示．
利用方程研究曲线性质的一般过程
1．画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形．
[解] 到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x≥0，y≥0的图形后，利用对称性完成画图，如图.
直接法求曲线方程
【例2】 已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
[思路探究] 由条件可知动点满足的关系已确定，只需坐标化再化简即得方程．
[解] 如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.
设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M||MF|－|MB|＝2}．
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为－y＝2，①
将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，
化简得y＝x2.因为曲线在x轴的上方，所以y＞0.
虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，
所以曲线的方程应是y＝x2(x≠0)．
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
2．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．
[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
代入法求曲线的方程
[探究问题]
1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？
[提示] 只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．
2．常见的建系原则有哪些？
[提示] (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．
(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系．
3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？
[提示] 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．
【例3】 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
[思路探究] 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．
[解] 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．
∴即
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
1．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“＝2”，求P点的轨迹方程．
[解] 设P(x，y)，M(x0，y0)，
则＝(x－x0，y－y0)，＝(3－x，－y)，
由＝2得
即又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴(3x－6)2＋9y2＝1，
∴点P的轨迹方程为(3x－6)2＋9y2＝1.
2．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．
[解] 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M为PB的中点．
∴又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，
∴P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.
代入法求解曲线方程的步骤
①设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；
②利用条件求出两动点坐标之间的关系
③代入相关动点的轨迹方程；
④化简、整理，得所求轨迹方程．
其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．
1．思考辨析
(1)依据一个给定的平面图形，选取的坐标系是唯一的． ( )
(2)求轨迹就是求轨迹方程． ( )
(3)到两坐标轴距离之和为a(a＞0)的点M的轨迹方程为|x|＋|y|＝a. ( )
[提示] (1)× 不唯一．常以得到的曲线方程最简单为标准．
(2)× 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．
(3)√
2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(x＞0)
C．y＝－ D．y＝－(0＜x＜2)
D [排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0.故选D.]
3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是 ( )
A．y＝2x2 B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1
C [设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.]
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________．
(x－1)2＋y2＝2 [圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.
∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.]
课件43张PPT。第二章 圆锥曲线与方程 2．1 曲线与方程
2.1.2 由曲线求它的方程、由方
程研究曲线的性质方程性质有序实数对(x , y ) f (x , y )=0 方程的解f (x , y )=0 p(M )p={M|p(M )} 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
A [把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.]
2．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．两条线段
A [方程可化为(x＋1)2＋22＝0，所以即它表示点.
故选A.]
3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
A [设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．]
4．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
A [由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，
∴y2＝4x(x＞0，y＞0)，
即y＝2(x>0)．]
5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
B．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
C.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
D.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
D [由P(x，y)，得Q(－x，y)．设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.又＝(－a，b)＝，由·＝1可得x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．故选D.]
二、填空题
6．方程(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0表示的图形为________．
点(1,0) [∵(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0.
∴
即方程表示一个点(1,0)．]
7．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．
x2－＝1(λ≠0，x≠±1) [由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
所以kPM·kPN＝·＝λ，
整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．]
8．在直角坐标平面xOy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足＝＋，则点P的轨迹方程为________．
x2＋(y－1)2＝1 [设AB的中点为M，则＝，M.又因为OM⊥AB，的方向向量为，＝，所以·＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1.]
三、解答题
9．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
[解] 设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4.
即x2＋＝4(y≠0)．
所以，动点Q的轨迹方程为x2＋＝4(y≠0)．
10．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
[解] 法一：(直接法)
如图，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，
得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以点Q的轨迹方程是x2＋2＝(去掉原点)．
法二：(定义法)
如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法三：(代入法)
设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得即
又因为x＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋42＝9，
即点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[能力提升练]
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．9π B．8π C．4π D．π
C [设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，
所以，动点P的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.]
2．已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．
x2＋y2＝9 [设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.
由|MA|＝3|MB|，
得＝3，化简得x2＋y2＝9.]
