2.2.2 椭圆的几何性质(二)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.
2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．(重点、难点)
通过对直线与椭圆位置关系相关知识的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则点P与椭圆的位置关系如下所示：
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?＋＞1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．
(2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.
例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交．
思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去y后，推导出的弦长公式是什么？
[提示] |AB|＝＝|y1－y2|.
1．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
[答案] A
2．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上
C [(－3,2)与(3,2)关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，选C.]
3．经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．
[答案]
点、直线与椭圆的位置关系
【例1】 (1)已知点p(k,1)在椭圆＋＝1外，则实数k的取值范围为________．
(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
①当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
②当m＝1时，求直线与椭圆的相交弦长；
③求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
[解] (1)由题意知＋＞1，
解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
(2)联立消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
①∵因为直线和椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即m2≤，∴－≤m≤.
所以m的取值范围为.
②设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得5x2＋2x＝0.
由题意得Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝0，
则弦长|x1－x2|＝·
＝×＝.
(3)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(*)式，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝，
则弦长|x1－x2|＝·＝·.
由上式可知，当m＝0时，弦最长．此最长弦所在的直线的方程为y＝x，即x－y＝0.
(1)有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题：
一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解．
(2)在弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|中，k为直线的斜率，在计算|x1－x2|或|y1－y2|时，一定要注意“整体代入”这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到|x1－x2|＝或|y1－y2|＝整体代入求解．
1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且仅有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组：
消去y，得：
9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144，
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，
(3)当Δ<0，即m<－3，或m>3时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.
弦长及弦中点问题
【例2】 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
[思路探究] 利用中点公式或点差法可求解直线的斜率k.
[解] 法一：由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，
解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：(点差法)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－
＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法三：对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.
2．已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[解] (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.
由
消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，不合题意．设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ＞0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为
y－2＝－(x－4)．
即x＋2y－8＝0.
椭圆中的最值(或范围)问题
[探究问题]
1．求解椭圆的最值问题一般有哪两种方法？
[提示] (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及其意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性法等．
2．弦长公式是什么？
[提示] |AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A，B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上．①求直线AB的斜率；②求△AOB面积的最大值．
[思路探究] (1)首先求出椭圆方程．(2)求出直线AB的斜率，设出直线AB的方程，求出△AOB的面积，用变量表示，根据重要不等式求出最值．
[解] (1)由题意得
∴∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的斜率为k，
则∴＋＝0，
∴＋·k＝0.
又直线OP：y＝x，M在线段OP上，
∴y0＝x0，∴k＝－1.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y－y0＝k(x－x0)，
则
∴(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－6＝0.
由题意，Δ>0，∴x1＋x2＝－，
∴x0＝－.
又直线OP：y＝x，M在线段OP上，
∴y0＝x0，∴－＝1，∴k＝－1.
法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋m，
则∴(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
由题意，Δ>0，∴x1＋x2＝－.
∴x0＝－(ⅰ)．
又直线OP：y＝x，M在线段OP上，
∴y0＝x0(ⅱ)，M在直线AB上，
∴y0＝kx0＋m(ⅲ)．
解(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得k＝－1.
②设直线AB的方程为y＝－x＋m，m∈(0,3)．
则∴3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴AB＝|x1－x2|＝，
原点到直线的距离d＝.
∴S△AOB＝×·＝≤，
当且仅当m＝∈(0,3)时，等号成立．
∴△AOB面积的最大值为.
求最值问题的基本策略
?1?求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.
?2?求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
?3?求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
?4?利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围.
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点M(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈，求弦长|AB|的取值范围．
[解] (1)由已知e＝，得＝，
∵当直线垂直于x轴时，|AB|＝，
∴椭圆过点，
代入椭圆方程得＋＝1，
又a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋2＞2或λ＝＝＝3－2＜，不符合题意．
∴直线的斜率不能为0.
设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根与系数的关系可得，
将①式平方除以②式可得：＋＋2＝－，
由已知|MA|＝λ|MB|可得，＝－λ，
∴－λ－＋2＝－，
又知λ∈，∴－λ－＋2∈，
∴－≤－≤0，
解得m2∈.
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82，
∵m2∈，∴∈，
∴|AB|∈.
1．思考辨析
(1)点P(1,2)在椭圆＋＝1上． ( )
(2)直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1相交． ( )
(3)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则k＝±. ( )
[提示] (1)× 在椭圆外．
(2)√ (3)√
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
[答案] C
3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．1 D．4
C [因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
所以c2＝3，所以右焦点坐标F(，0)，
将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故|AB|＝1.]
4．已知直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，则直线AB的方程为________．
4x＋9y－13＝0 [法一：根据题意，易知直线AB的斜率存在，设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得
(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝－＝1，解得k＝－.
故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵M(1,1)为弦的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0.
∴kAB＝＝－.
故直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.]
课件70张PPT。第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的几何性质(二)相交相离相切点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 椭圆的几何性质(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A [直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交．]
2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．1 C．0 D．0或1
A [由题意，得＞2，所以m2＋n2＜4，则－2＜m＜2，－23．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
B [设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝·＝＝＝－，因为k2∈[－2，－1]，所以k1∈.]
4．若椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B.
C. D.
B [由直线x＋y－1＝0，可得y＝－x＋1代入mx2＋ny2＝1得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝.设AB的中点为M，则M的坐标为，∴OM的斜率k＝＝，∴＝.]
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
C [因为椭圆的离心率为，所以有＝，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)，代入椭圆方程＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，选C.]
二、填空题
6．直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为________．
[联立直线与椭圆方程得?5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
∴弦长d＝|x1－x2|＝×＝.]
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
[易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，
∴||min＝.]
8．已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
[A(－1,0)关于直线l：y＝x＋2的对称点为A′(－2，1)，连接A′B交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|＝＝，所以椭圆C的离心率的最大值为＝＝.]
三、解答题
9．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，F1，F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A，B两点，且△F2AB的最大面积为，求椭圆的方程．
[解] 由e＝得a∶b∶c＝∶1∶1，
所以椭圆方程设为x2＋2y2＝2c2.
设直线AB：x＝my－c，
由得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，
Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)
＝8c2(m2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是方程的两个根．
由根与系数的关系得
所以|y1－y2|＝＝，
S△ABF2＝|F1F2||y1－y2|＝c·2c·
＝≤2c2·＝c2，
当且仅当m＝0时，即AB⊥x轴时取等号，
∴c2＝，c＝1，
所以，所求椭圆方程为＋y2＝1.
10．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
[解] (1)证明：椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由
消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)＞0得a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2，
又∵a2＋b2＝2a2b2，
∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
[能力提升练]
1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2 C．2 D．4
C [设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n>0)，联立消去x，得(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得3m＋n＝16mn，即＋＝16 ①.又由焦点F1(－2,0)，F2(2,0)在x轴上，得－＝4 ②，联立①②，解得
故椭圆的方程为＋＝1，所以长轴长为2.故选C.]
2．已知椭圆＋＝1，则以点M(－1,2)为中点的弦所在直线方程为( )
A．3x－8y＋19＝0 B．3x＋8y－13＝0
C．2x－3y＋8＝0 D．2x＋3y－4＝0
C [设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆得两式相减得＋＝0，整理得＝，∴弦所在的直线的斜率为，其方程为y－2＝(x＋1)，整理得2x－3y＋8＝0.故选C.]
3．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0.
又M(1,1)是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以＋＝0，所以a2＝2b2，所以e＝.]
4．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
[设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2＜2，∴x2＜.
解得－＜x＜，∴x∈.]
5．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求m的取值范围．
[解] (1)设C：＋＝1(a＞b＞0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由条件知2b＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故椭圆C的标准方程为y2＋＝1.
(2)设l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m(k≠0)．
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
∵Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)＞0(*)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＝3，∴－x1＝3x2，∴
消去等号右边的x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
∴32＋4·＝0，
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0.
当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，
由(*)式得k2>2m2－2，由题意知点P在椭圆内，
∴m2＜1，
∴2m2－2＜0，
∴k2＞2m2－2恒成立．
∵k≠0，∴k2＝＞0，
∴－1＜m＜－或＜m＜1.
故所求m的取值范围为∪.
