2．2.2 椭圆的几何性质(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)
通过椭圆几何性质的学习，培养学生直观想象，数学运算素养.
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝(0＜e＜1)
思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c.
思考2：椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？
[提示] 在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
C [不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.]
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
D [x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．]
3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
3或5 [由题意得c＝1，当焦点在x轴上时，m－4＝1得m＝5，当焦点在y轴上时，4－m＝1解得m＝3.]
由椭圆方程求椭圆的几何性质
【例1】 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
[思路探究] 化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．
[解] 把已知方程化成标准方程＋＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
1．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3.c＝＝6，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0,6)，(0，－6)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)，离心率e＝＝.
由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[思路探究] 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.
[解] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数．
提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
[解] (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
[探究问题]
1．求椭圆离心率的关键是什么？
[提示] 根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．
2．a，b，c对椭圆形状有何影响？
[提示] (1)e＝＝＝.
(2)
【例3】 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[思路探究] 由题设求得A、B点坐标，根据△ABC是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．
[解] 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，
∴|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝×，
即b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，
两边同除以a2得2＋2－＝0，
解得e＝＝.
1．(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
[解] 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，
设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，
则B点坐标为，
∵B点在椭圆上，
∴＋＝1，
解得y＝4b2－，
由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，
即c4－8a2c2＋4a4＝0，
两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，
解得e＝－1.
2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．
[解] 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由题意知A在椭圆上，
∴＋＝1，解得e＝.
求椭圆离心率的方法,?1?直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解.,?2?若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
1．思考辨析
(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆． ( )
(2)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相等． ( )
(3)已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为4或－.
( )
[提示] (1)× 离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆．
(2)√
(3)√ 由e2＝1－，又因椭圆的焦点在x轴或在y轴上，所以有两个值．当k＞1时，焦点在x轴上，a2＝k＋8，c2＝k－1，又e＝，所以＝，解得，k＝4；当－8＜k＜1时，焦点在y轴上，a2＝9，c2＝1－k，又e＝，所以＝，解得k＝－.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [c＝1，由e＝＝得a＝2，由b2＝a2－c2得b2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.]
3．椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
D [a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝＝.]
4．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．
＋＝1 [由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.]
课件49张PPT。第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆
2．2.2 椭圆的几何性质(一)( － b,0)，B2(b,0)x轴和y轴(0,0)[－a，a][－b，b][－b，b][－a，a]A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B12c2b2aF1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 椭圆的几何性质(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．9
B [由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.]
2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 ( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
C [解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.]
3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意得2a＝＝8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝＝2 cm，∴e＝＝.故选A.]
4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
C [曲线＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线＋＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8.则C正确．]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A [∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，∴b＝＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A.]
二、填空题
6．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(0，)，且椭圆的长轴长是焦距的2倍，则a＝________.
2 [由椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(0，)，即b＝.又椭圆的长轴长是焦距的两倍，即2a＝2·2c.∵a＝2c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴a＝2.]
7．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
＋＝1或＋＝1 [由条件知，2a＝20，＝，∴a＝10，c＝6，b＝8，
故标准方程为＋＝1或＋＝1.]
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
[由·＝0得，以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，则a2－c2>c2，所以0三、解答题
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝＞0，∴m＞，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标为F1，F2；
四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
[解] (1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴≥，即e≥.
又0(2)证明：由(1)知mn＝b2，
∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
[能力提升练]
1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
B [由题意知点P的坐标为，或，因为∠F1PF2＝60°，那么＝，∴2ac＝b2，这样根据a，b，c的关系式化简得到结论为，选B.]
2．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
C [椭圆标准方程为x2＋＝1.
当m>1时，e2＝1－∈，解得m＞；
当03．如果椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，且a－c＝，则椭圆的方程是________．
＋＝1 [如图所示，
由△AF1F2为正三角形，
可得2c＝a，又a－c＝，
∴a＝2，c＝，
∴b2＝(2)2－()2＝9.
∴椭圆的方程是＋＝1.]
4．如图，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．
[由题意知OQ垂直平分PF2.
所以|PO|＝|OF2|＝c.
又O为F1F2的中点，Q为PF2的中点，所以PF1∥OQ，∴PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|OQ|＝2b，∴|PF2|＝＝＝2.
由椭圆的定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2b＋2，即a－b＝，两边平方整理可得3b2＝2ab，
∴3b＝2a，∴9b2＝4a2，∴9(a2－c2)＝4a2，
即5a2＝9c2，∴a＝3c，∴e＝＝. ]
5．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0),
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝
?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
