2.4.2 抛物线的几何性质(二)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.
2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.
3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题.
通过学习直线与抛物线的位置关系有关求值的证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
直线与抛物线的位置关系及判定
位置关系
公共点
判定方法
相交
有两个
或一个
公共点
k＝0或
联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ
相切
有且只
有一个
公共点
Δ＝0
相离
无公共点
Δ＜0
1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
D [当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的．
当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．]
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
C [由点A(－2,3)在y2＝2px的准线x＝－上得p＝4，∴F(2,0)，∴kAF＝－，故选C.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
8 [|AB|＝2＝2(3＋1)＝8.]
直线与抛物线的位置关系
【例1】 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
[解] 由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组(*)
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.
把y＝1代入y2＝4x，得x＝.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1)．
①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，
解得k＝－1，或k＝.
于是，当k＝－1，或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
②由Δ>0，得2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－1③由Δ<0，即2k2＋k－1>0，
解得k<－1，或k>.
于是，当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
综上，我们可得
当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1，或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.
1．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
[证明] 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，
得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.
∴直线BC的斜率为定值.
与抛物线有关的中点弦问题
[探究问题]
对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？
[提示] (1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
【例2】 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求直线AB的方程．
[思路探究] 用“点差法”．
[解] (1)由E的焦点为(1,0)，
可设抛物线方程为y2＝2px，
且＝1，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由M(2,1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k.
由A，B为抛物线上不同两点得
①－②得k＝＝2，
∴直线AB方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
1．(变换条件)若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由．
[解] 由抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x.
假设AB斜率存在，即AB不垂直于x轴，
故可设AB所在直线的方程为
y－1＝k(x－1)(k≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x整理得
ky2－4y＋4－4k＝0，
Δ＝16－4k(4－4k)>0恒成立，
又由根与系数的关系得y1＋y2＝，
根据M为AB的中点，所以＝2，k＝2，
所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.
2．(变换条件、改变问法)若动点P在抛物线E上移动，求线段PM中点的轨迹方程．
[解] 设P(x0，y0)，PM中点的坐标为(x，y)，
由中点坐标公式得
即
∵P在抛物线y2＝4x上，
∴PM中点的轨迹方程为(2y－1)2＝8(x－1)．
解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线方程与抛物线方程联立时，消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线y2＝2px?p>0?上两点A?x1，y1?，B?x2，y2?及AB的中点P?x0，y0?，则kAB＝直线AB的方程为y－y0＝线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
抛物线的综合运用
【例3】 如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[思路探究] 解决本题的关键是弦AB为定值，将点P到直线AB的距离的最值问题转化为二次函数问题求解．在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围．
[解] 由解得或
由题图可知A(4,4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则：
d＝＝＝|(y0－1)2－9|.
∵－2＜y0＜4，∴(y0－1)2－9＜0.
∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
[解] 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由
可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.
从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝
1．思考辨析
(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点． ( )
(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点． ( )
(3)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条．
( )
[提示] (1)× 过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点．
(2)√ (3)√
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
A [∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，
所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离
＝2，故选A.]
3．已知点A(4,0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．
(1，±) [设M，则|MA|2＝2＋y
＝y－y＋16＝(y－6)2＋15≥15，
当且仅当y＝6，即y1＝±，x1＝＝1时，|MA|取最小值，此时M(1，±)．]
4．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．
2 [由得x2－2x－2b＝0，
Δ＝(－2)2＋8b＞0，
设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．
b＝2适合Δ>0.]
课件54张PPT。第二章 圆锥曲线与方程 2．4 抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质(二)有两个或一个无有且只有一个点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 抛物线的几何性质(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A．2 B. C．4 D．2
C [设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.]
2．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )
A．x2＝y B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
D [设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]
3．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.]
4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )
A. B．2 C. D．4
C [易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点，∴|AB|为焦点弦．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB中点N，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4.∴＝.
∴AB中点到直线x＋＝0的距离为＋＝.]
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为( )
A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3x
C．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6x
A [设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1，将点(1，)，(－1，)分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝或m＝－.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.]
二、填空题
6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝______.
－ [由得ax2－x－1＝0.
令Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.]
7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
6 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，
又|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.]
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
y＝x [∵焦点F为(1,0)，∴抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，两式相减得y－y＝4(x2－x1)．整理得＝，由于kAB＝，而AB中点为(2,2)，所以y2＋y1＝4，于是kAB＝＝1，因此直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.]
三、解答题
9．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的值；
(2)求证：·是一个定值．
[解] (1)由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，
∴直线l的方程为y＝x－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
∴·是一个定值．
10．已知平面内一动点P(x，y)(x≥0)到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△AOB面积的最小值.
[解] (1)∵平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x＝－1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝4x(x≥0)．
∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)．
(2)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，
过点F的直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x，可得y2－4my－4＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴S△AOB＝|y1－y2|＝
＝，
∴当m＝0时，△AOB的面积最小，最小值为2.
[能力提升练]
1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )
A. B. C．1 D．2
D [由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，
过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1(图略)，则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6，
∴2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.]
2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于( )
A．3 B．4 C．3 D．4
C [因为A，B关于直线x＋y＝0对称，所以可设AB：y＝x＋m，由得x2＋x＋m－3＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，设线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝－＋m.又因为M在直线x＋y＝0上，所以－－＋m＝0，即m＝1，所以方程①可化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2，y1＝2，y2＝－1，所以|AB|＝＝3.]
3．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是________．
2 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
由题意得
∴即k＝2.]
4．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．
(2，＋∞) [设直线l的方程为y＝x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，
Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＞2.]
5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解] (1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
