2.4.2 抛物线的几何性质(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)
通过抛物线的几何性质的学习，培养学生的直观想象、数学运算素养.
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
思考：参数p对抛物线开口大小有何影响？
[提示] 参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
2．焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p＞0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p＞0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
A [∵抛物线的方程为y2＝8x，
∴其准线l的方程为x＝－2，
设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，
即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，
∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，
∴|PF|＝6＋2＝8.]
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 ( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
D [顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|
D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2
C [由抛物线定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，∴|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，故选C.]
由抛物线的几何性质求标准方程
【例1】 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[思路探究] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．
[解] 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
用待定系数法求抛物线方程的步骤
1．已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[解] 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
抛物线几何性质的应用
【例2】 已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
[思路探究] (1)利用抛物线对应性质的公式求解；
(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．
[解] (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝|OM|.
因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，
所以M(3,0)，故设A(3，m)．
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3,2)，B(3，－2)，
所以|OA|＝|OB|＝，
所以△OAB的周长为2＋4.
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称.另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质.
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
[解] 如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1＞0，x2＞0,2p＞0，
∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p.∴|AB|＝2y1＝4p.
焦点弦问题
[探究问题]
以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：
(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？
[提示] ①|AB|＝2(焦点弦长与中点关系)．
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
③A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
④S△AOB＝.
⑤＋＝(定值)．
⑥∠A1FB1＝90°.
(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？
[提示] 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
所以以AB为直径的圆必与准线l相切．
【例3】 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．
[解] ∵过焦点的弦长|AB|＝p，
∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵y2＝2px的焦点为F.
∴直线方程为y＝k.
由整理得
k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)，
∴x1＋x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p，
又|AB|＝p，
∴＋p＝p，∴k＝±2.
∴所求直线方程为y＝2或y＝－2.
1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
[解] 设AB中点为M(x0，y0)，
由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝p，
所以AB的中点M到y轴的距离为p.
2．(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.
[解] 由例题解析可知AB的方程为y＝k，
即x＝y＋，代入y2＝2px消x可得y2＝y＋p2，即y2－y－p2＝0，∴y1y2＝－p2，
由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得kA1F＝－，kB1F＝－.
∴kA1F·kB1F＝＝－1，
∴∠A1FB1＝90°.
解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.
1．思考辨析
(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )
(2)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
( )
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.
( )
[提示] (1)× 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)√ (3)√
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2,4) D．(2，±4)
D [抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有
??
所以符合题意的点为(2，±4)．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
B [由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.]
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|＝8，则点P的坐标为________．
(6,4) [抛物线的焦点为F(2,0)，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6，所以y0＝＝4，即P(6,4)．]
课件49张PPT。第二章 圆锥曲线与方程 2．4 抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质(一)(0,0)1点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 抛物线的几何性质(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
C [依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.]
2．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
C [双曲线的方程可化为－＝1，
∴双曲线的左焦点为.
又∵抛物线的准线为x＝－，
由题意－＝－，
解得p＝4.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
B [∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.]
4．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
B [由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.]
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A．－4 B．4 C．p2 D．－p2
A [①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝，∴x1x2＝；
∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，
∴＝－4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴，
可设AB的直线方程为y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.∴y1y2＝－p2.
故＝－4.]
二、填空题
6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
6 [由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.]
7．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
x－y－1＝0 [依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]
8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．
y2＝5x [线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，
与x轴的交点为，
∴抛物线的焦点为，
∴其标准方程是y2＝5x.]
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
[解] 依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由消去y，得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.
∴所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，
代入上式，
得＋
＝
＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[能力提升练]
1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是 ( )
A. B. C. D．25
A [抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝(x－2)，由得B点的坐标为.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
∴AB的中点到准线的距离为.]
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
2 [法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝.取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．
[由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
∴x1＝2，y1＝2.
设AB的方程为x－1＝ty，
由消去x得y2－4ty－4＝0.
∴y1y2＝－4.∴y2＝－，x2＝，
∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.]
4．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞) [由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，所以k2＞1，解得k＞1或k＜－1.]
5．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[解] (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
