2.5 直线与圆锥曲线
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)
2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)
通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征
交点个数
位置关系
直线
与
椭圆
a≠0，Δ＞0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ＜0
0
相离
直线
与双
曲线
a＝0
1
直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ＞0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ＜0
0
相离
直线
与抛
物线
a＝0
1
直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ＞0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ＜0
0
相离
思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．
2．弦长公式
当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|＝.
1．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A. B．2 C. D．15
A [令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.]
2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是 ( )
A．m＞1 B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
D [直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点．
∴≥1，解得m≥1.当m＝5时＋＝1表示圆．故选D.]
3．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
A [因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，
所以若x＝a与双曲线有两个交点，
则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意．]
直线与圆锥曲线的位置关系
[探究问题]
直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？
[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．
【例1】 直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，求m2的值．
[思路探究] 联立方程组，消元后利用判别式求解．
[解] 由消去y整理得
(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，
由Δ＝64m2－12(4m2＋1)＝0，得m2＝.
1．(改变问法)典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？
[解] 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点坐标为M(x，y)，
由消去y整理得
(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，
∴x1＋x2＝2x＝－，即x＝－，①
∴y1＋y2＝2y＝－＋2，y＝－＋1＝，②
由①②得＝－4m，③
又点(x，y)在直线y＝mx＋1上，
∴m＝，④
由③④得x2＋4y2－4y＝0，
∴弦中点的轨迹方程为x2＋4y2－4y＝0.
2．(改变问法)典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦|AB|的长．
[解] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y整理得
(4m2＋1)x2＋8mx＋3＝0，
∴Δ＝16m2－12＞0，解得m＜－或m＞，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝
＝.
直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
弦长问题及中点弦问题
【例2】 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
[思路探究] 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．
[解] 法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a.
∵|AB|＝|x2－x1|＝2，即(x2－x1)2＝4，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
又∵(x1＋x2)2－4x1x2＝(x2－x1)2＝4，
∴2－4·＝4.
将b＝a代入，解得a＝，b＝，
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
法二：由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，
y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝，
代入①，解得a＝，b＝，
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决?要考虑特殊情形?；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.
1．已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|＝，求直线PQ的方程．
[解] (1)设M(x，y)，
则kMA＝，kMB＝(x≠±1)，
∴×＝－2，
∴x2＋＝1(x≠±1)．
(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程是y＝kx＋1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1－y2＝k(x1－x2)，
联立
消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)＞0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝
＝2·，
∴|PQ|＝＝2·，
k2＝2，k＝±，
∴直线PQ的方程是y＝±x＋1.
圆锥曲线中的最值及范围问题
【例3】 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围．
[解] (1)由双曲线－＝1的焦距为3，得c＝，
∴a2＋b2＝.①
由题意知＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知P(－，0)．
设G(x0，y0)，由＝2，得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)．
即
解得
∴G.
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
||2＋||2＝2＋y＋2＋y＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋＝x＋.
又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，
∴≤x＋≤，
∴||2＋||2的取值范围是.
(1)求参数范围的方法
据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．
(2)求最值问题的方法
①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．
②代数法,题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等.
2．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
[解] (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)．
因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
1．思考辨析
(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线． ( )
(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条． ( )
(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件． ( )
[提示] (1)√ (2)√
(3)× 必要不充分条件．
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
C [由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，解得k＝2(k＝－1舍去)．]
3．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B [因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，
又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]
4．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则k的值为________．
±1或± [由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
当1－k2＝0时，即k＝±1时，
方程变为±2x－2＝0，x＝±1，
此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
解得k＝±，
此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．
综上所述k＝±1，±.]
课件56张PPT。第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 直线与圆锥曲线
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56 C．64 D．72
A [由得x2－10x＋9＝0，
解得或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为S＝(|AP|＋|BQ|)×|PQ|＝(10＋2)×8＝48.]
2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
D [设双曲线方程为－＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－.
∴·＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0.两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.]
3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A. B．4 C．3 D．5
A [∵抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.]
4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A. B．(－，)
C. D．[－，]
C [双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，右焦点F(4,0)，过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2，如图，由图形可知，符合条件的直线的斜率的取值范围是，故选C.]
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B. C. D.
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，
代入y＝k(x＋2)，得k＝.]
二、填空题
6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
2 [由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴，得y＝(2)2＝12，
∴xA＝＝3，∴点F到直线x＝3的距离为2.]
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与方向向量为k＝(6,6)的直线交于A，B两点，线段AB的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．
y＝±x [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1且－＝1得＝＝，又k＝1，∴＝1，即＝.即双曲线的渐近线方程为：y＝±x.]
8．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
[直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.]
三、解答题
9．已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
(1)l与C无公共点？
(2)l与C有唯一公共点？
(3)l与C有两个不同的公共点？
[解] 将直线方程与双曲线方程联立，
得方程组消去y，得：
(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①
(1)要使l与C无公共点，即方程①无实数根，
则1－4k2≠0，且Δ＜0，
即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)＜0.
解得k>或k＜，
故当k>或k＜时，l与C无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，方程①只有一个实数根；
当1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝时，方程①有两个相等实数根．
故当k＝±或k＝时，l与C有唯一公共点．
(3)当1－4k2≠0，且Δ>0时，方程①有两个不同的实数根，即l与C有两个不同的公共点，
故当＜k＜，且k≠±时，l与C有两个不同的公共点．
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b>0)，离心率是，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是.若直线l过点，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．
[证明] 由题意可知：e＝＝＝，所以a2＝b2，由直线x＝1与椭圆相交，交点P(1，y)(y＞0)，由题意可知：×1×2y＝，解得y＝，将P代入椭圆方程：＋＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1，即4y2＋3x2－12＝0.所以D点坐标为(2,0)，
当直线l的斜率不存在时，A，B，
∴·＝0，∴∠ADB＝.
当直线l的斜率存在时，设直线l：x＝my＋，
由得(196＋147m2)y2＋84my－576＝0，
∵l与C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＞0，且y1y2＝，y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝＋，x1x2＝＋，
∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，·＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4，
∴＋＝＝0，
∴∠ADB＝.综上，∠ADB＝.
[能力提升练]
1．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝( )
A. B．－ C．2 D．－2
A [设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，根据点差法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，直线OP的斜率k2＝，所以k1k2＝·＝，故选A.]
2．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
A [因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)
＝4
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．
故选A.]
3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
[由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝＝.]
4．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
15 [如图，F2(3,0)，连接PF2，|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P′，当P点位于P′处时，|PM|－|PF2|取得最大值，最大值为|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图所示，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆分别交于两点M，N，求·的取值范围．
[解] (1)依题意得??椭圆C：＋y2＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，则可得l⊥x轴，方程为x＝1，M，N，
∴＝，＝，故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2.
则·＝＋＋1＋k2＝＝－.由k2≥0可得·∈，因此·∈.
