3．1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量的线性运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念．(重点)
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)
1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生数学抽象素养.
2.借助于空间向量的线性运算，提升学生的数学运算素养.
1．空间向量的概念
(1)在空间中，把具有大小和方向的量叫做向量，向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量或平行向量
有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
空间向量的运算
加法
a＋b＝＋
减法
a－b＝－
数乘
当λ＞0时，λa＝＝λ，当λ＝0时，λa＝0，当λ＜0时，λa＝＝λ
λ＞0 λ＜0
加法与
数乘运
算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，
λ(a＋b)＝λa＋λb
思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？
[提示] 完全一致．
1．下列命题中，假命题是 ( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相反向量的和为零向量
C．只有零向量的模等于0
D．空间中任意两个单位向量必相等
D [大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．]
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
C [＝＋＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c，故选C.]
3．在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量．
[答案] 相等 相反
空间向量的概念及简单应用
【例1】 (1)下列说法中正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
B [|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定，对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]
(2)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
①试写出与相等的所有向量；
②试写出的相反向量；
③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] ①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
②向量的相反向量为，，，.
③||＝
＝＝＝3.
?1?两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量?非零向量?的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.
?2?熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.
1．给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝；
③若向量a与向量b的模相等，则a＝b.
其中正确命题的序号是________．
①② [①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；
③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b不一定相等．
综上可知，正确命题为①②.]
2．下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为 ( )
A．①②③ B．④
C．③④ D．①④
B [对于①：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②：向量是不能比较大小的，故不正确；对于③：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]
空间向量的加、减法运算
[探究问题]
向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法．
(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面向量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．
【例2】 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
[思路探究] 借助向量运算的三角形法则和平行四边形法则进行运算．
[解] (1)－＝－＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量、如图所示．
1．(变结论)利用本例图，化简＋＋＋.
[解] 结合加法运算
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
2．(变结论)利用本例图，求证＋＋＝2.
[证明] 长方体的六个面均为平行四边形．
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0.
(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)．
(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律．
(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝，a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
数乘向量运算
【例3】 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
[思路探究] 将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化简整理．
[解] (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋＝a＋b＋c.
利用数乘运算进行向量表示的技巧
?1?数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
?2?明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来.
3．如图，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[解] (1)∵＝－
＝－(＋)＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
1．思考辨析
(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( )
(2)零向量没有方向. ( )
(3)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向． ( )
[提示] (1)√
(2)× 零向量方向任意，但不是没有方向．
(3)× 既决定向量的大小，又决定向量的方向．
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [向量、、与相等．]
3．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是 ( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
D [∵a＝－b且|b|＝3，∴|a|＝|－b|＝3.]
4．化简2＋2＋3＋3＋＝________.
0 [2＋2＋3＋3＋
＝2(＋＋＋)＋＋＋
＝0＋＝00＝0.]
课件51张PPT。第三章 空间向量与立体几何 3．1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量的线性运算大小长度模．长度方向零向量等长同向相等相同相反相等模为1互相平行或重合平行向量共线向量点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 空间向量的线性运算
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
C [当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定有起点相同，终点也相同，故①错；
根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；
根据正方体的性质，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的方向相同，模也相等，所以＝，故③正确；命题④显然正确．]
2．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，与向量的模相等的向量有( )
A．7个 B．3个 C．5个 D．6个
A [||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.]
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有 ( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝.
②(＋)＋＝＋＝.
③(＋)＋＝＋＝.
④(＋)＋＝＋＝.
所以，所给4个式子的运算结果都是.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
①(－)－；
②(＋)－；
③(－)－；
④(－)＋.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
A [①(－)－＝－＝；
②(＋)－＝－＝；
③(－)－＝－≠；
④(－)＋＝＋.]
5．设三棱锥O-ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于( )
A．a＋b－c B．a＋b＋c
C.(a＋b＋c) D.(a＋b＋c)
D [如图所示，
＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．]
二、填空题
6．下列命题：
①向量与的长度相等；
②若将空间中所有的非零的模相等的向量移到以同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
③已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量；
④不相等的两个空间向量的模必不相等．
其中，真命题的序号为________．
① [①真命题，向量与是相反向量，长度相等；②假命题，终点应构成一个球面；③假命题，当它们首尾顺次相接时，其和才为零向量；④假命题，不相等的两个向量的模可以相等．]
7．化简－＋－－＝________.
[－＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝.]
8．化简：(－)－(－)＝________.
0 [法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
法二：(－)－(－)＝(－)＋－＝＋－＝－＝0.]
三、解答题
9．已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
(1)－；
(2)＋＋；
(3)＋－.
[解] (1)－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)设M是线段AC′的中点，则＋－
＝＋＋
＝(＋＋)＝＝.
向量、如图所示．
10．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2).
[解] (1)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(2)＝＋＝＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
[能力提升练]
1．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 ( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
A [＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c.故选A.]
2.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量a，b，c表示)
3a＋3b－5c [设G为BC的中点，连结EG，FG，则＝＋＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.]
