2.4 平面向量的数量积 第二课时 学案

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学案 平面向量的数量积 第二课时

【学习目标】
(1)求平面向量的数量积，(2)解决向量模的问题，(3)解决向量的夹角与垂直问题.
本节课的易错点:解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况
【知识要点】

平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性质 几何表示 坐标表示
定义 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 a·b＝a1b1＋a2b2
模 a·a＝|a|2或|a|＝ |a|＝
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) ||＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 a1b1＋a2b2＝0
夹角 cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0) cos〈a，b〉＝
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |a1b1＋a2b2|≤



【典型例题】
类型一　平面向量数量积的运算
例1(1).如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：(1) ·；(2) ·；(3) ·.



(2)．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A. B. C．－ D．－


.已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(　　)
A. B．3 C．2 D.



类型二　求平面向量的模
例2.(1)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.


(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.



类型三:两个向量的夹角和垂直
例3.设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　 D.


变式1：已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．



类型四:平面向量与三角函数
例4．(1)已知向量a＝(6sin α，2)与向量b＝(3,4sin α)平行，则锐角α＝(　　)
A. B. C. D.


(2)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．




课堂练习：
1．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝(　　)
A．1 B.
C．4＋ D．2

2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12

3．已知△ABC中，＝c，＝a，＝b，若a·b＝b·c且c·b＋c·c＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．等腰非直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形


4.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或? B.或 C.或?D.或




平面向量的数量积 第二课时答案

例1.解：(1) ·＝||2＝9；(2) ·＝－| |2＝－16；
(3) ·＝| |||cos (180°－60°)＝4×3×＝－6.
(2)解：选A　∵AM＝1，且＝2，∴||＝.如图，·(＋)＝·2＝·＝()2＝2＝.
(3).解：选A　∵|a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.
例2.解：　(1)令e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°，∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，从而|b|＝＝.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
例3.解：选A　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.
变式：解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.若c⊥d，则c·d＝0.∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，∴m＝.故当m＝时，c与d垂直．
例4(1)解：选B　因为向量a＝(6sin α，2)与向量b＝(3,4sin α)平行，所以24sin2α＝6，所以sin2α＝，sin α＝±.又α是锐角，所以sin α＝，α＝.
(2)解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
则tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
课堂练习：
1.解：选B　根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
2.解：选C　∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.
3．解：选D　由c·b＋c·c＝c·(b＋c)＝0，即·(＋)＝·＝0，可得∠B是直角．又由a·b＝b·c，可得b·(a－c)＝0，即·(＋)＝0，所以CA与CA边的中线垂直，所以△ABC是等腰直角三角形．
4.D








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