2.3 平面向量的基本定理 学案

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学案 平面向量的基本定理
【学习目标】
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.
【知识要点】
1.平面向量的基本定理:如果ｅ１、ｅ２是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的基底。
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;
(2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量
2.不共线向量的夹角
不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量， ，作， ，则 叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是 。
当 时，表示与同向；当 时，表示与反向。
3.垂直向量 如果 ，就称与垂直，记作 。


【典型例题】
类型一　对基底概念的理解
例一：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)。


变式一：设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(　　)
A．①②　　　　　　 B．①③ C．①④ D．③④


类型二 向量的夹角
例二. (1)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则与的夹角θ＝__________.



(2)已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________．



变式二：已知向量a与b的夹角为60°，则向量－3a和－b的夹角为________．


类型三　向量的表示
例三.(1) 已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.



(2)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a，b表示c.



类型四 证明向量的共线
例四:设，不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且=(1-t)+t(tR).求证：A、B、P三点共线.






例五： 已知=2e1-3e2，= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使=λ+μ与共线.






平面向量基本定理 答案
类型一 对基底概念的理解
例一.解：①中，设e1＋e2＝λe1，则无解．所以e1＋e2与e1不共线，故e1与e1＋e2可作为一组基底；
同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底；③中的两个向量共线，不可作为一组基底．答案：③
类型二 向量的夹角
解：(1)如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则＝，∠BCD是与的夹角．由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°,即θ＝120°.
如图所示，作O＝a，O＝b，且∠AOB＝60°
.
以OA，OB为邻边作?OACB，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.∵|a|＝|b|＝2，
∴△OAB是等边三角形．∴四边形OACB是菱形．∴与的夹角为30°，与的夹角为60°，
即a＋b与a的夹角为30°，a－b与a的夹角为60°.
答案：(1)120°　(2)30°　60°
类型三　向量的表示
例三.（1）

解：如图，连接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，∴DCFB，∴四边形DCBF为平行四边形．∴＝＝＝b，＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－ ＝－－×b＝b－a.
（2）解：由已知可得a，b不共线，所以可设c＝λ1a＋λ2b，则7e1－4e2＝λ1(3e1－2e2)＋λ2(－2e1＋e2)，
∴7e1－4e2＝(3λ1－2λ2)e1＋(λ2－2λ1)e2，∴解得∴c＝a－2b.
类型四 证明向量的共线
例四.证明：∵＝（1﹣t）+t，∴﹣＝t（﹣）；故＝t；故A，B，P三点共线．
例五.解：∵＝λ（21﹣32）+μ（21+32）＝（2λ+2μ）1+（﹣3λ+3μ）2，
若与共线，则存在实数k≠0，使＝k，
即（2λ+2μ）1+（﹣3λ+3μ）2＝2k1﹣9k2，由得λ＝﹣2μ．
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝﹣2μ，就能使与共线．









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