2.3 平面向量的正交分解及表示 学案

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学案 平面向量的正交分解及表示
【学习目标】:
（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；
【知识要点】:
1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为________叫做把向量正交分解．
2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得________．这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
3．几个特殊向量的坐标表示i＝________，j＝________，0=________.
4．以原点O为起点作向量 SHAPE \* MERGEFORMAT ，设 ＝xi＋yj，则向量 的坐标(x，y)，就是________；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是________．
向量的坐标运算
1．两个向量和差的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________；a－b＝________.
2．数乘向量和坐标运算：若a＝(x，y)，则λa＝__________.
3．向量 的坐标表示：若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝______.即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______


类型一 平面向量的坐标表示
例1.　(1)如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.



(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
①求向量的坐标；
②若B(，－1)，求的坐标．


变式1
如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．



求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　　　



类型二 平面向量的坐标运算
例2　(1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则3＋2＝________，－2＝________.
（

（2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．


变式2
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12)　　　　　　　　 B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)


已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为______．


平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．　　　　　　



类型三 向量坐标运算的综合应用
例3　已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？




[一题多变]
1．[变条件]典例中若“B为线段AP的中点”试求t的值．


[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．




向量中含参数问题的求解策略
（1）向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．　
　




平面向量的正交分解及表示 答案
例1.　
解：(1)将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)，b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)
(2)①设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
②＝－＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
变式1
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
又∵D是BC的中点，∴＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋ ))＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－＝－＝.
例2　解：　(1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．－2＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．
答案：(11,13)　(－7，－14)
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
变式2
1．解：选A　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0.∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
2．解：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴=＝＝(－8,1)＝，∴∴
答案：
例3解：　因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则所以－＜t＜－.
[一题多变]
1．解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，则解得t＝2.
2．解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，
则＝，所以该方程组无解．故四边形OABP不能成为平行四边形．








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