2.3 向量共线的坐标表示 学案

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学案 向量共线的坐标表示
【学习目标】
根据向量的坐标，判断向量是否共线.
【知识要点】
两个共线向量的坐标表示
设=(x1， y1) ，=(x2， y2)，


类型一 向量共线的判定
例1　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．1 D．2


(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？


变式1.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同.


向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．　　　　　　


类型二 三点共线问题
例2　(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；


(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？


变式2.设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？



有关三点共线问题的解题策略
(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；
(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．　　　　　　


类型三 向量共线在几何中的应用
题点一：两直线平行的判断
1.如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．


题点二：求交点坐标
2.如图，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，
AD与BC相交于点M，求点M的坐标．



题点三：几何形状的判断
已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．


题点四：综合应用
4.已知：的三个顶点的坐标分别为ABC，点D是边AB的中点，其中G是CD上的一点，而且已知，求点G的坐标。


应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤



平面向量共线的坐标表示 答案
例1解：　(1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.
法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以＝，即λ＝.[答案]　A
(2)解：　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．又＝－2，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
变式1.解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－，此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．∴k＝－时，ka＋b与a－3b平行且方向相反.
例2　解：(1)证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.解得k＝－2或k＝11.
变式2.解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又与方向相同，所以x＝2.
此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．
题点一：两直线平行的判断
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
令||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD.∵M为EC的中点，∴M，∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.∴＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．
题点二：求交点坐标
2.解：∵＝＝(0,5)＝，∴C.∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，∵∥，＝，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又＝，＝，
∵∥，∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
题点三：几何形状的判断
3．证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．∴四边形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，∴||＝＝||，即BC＝AD.
故四边形ABCD是等腰梯形．









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