2.4 平面向量数量积的物理背景及含义 学案

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学案 平面向量数量积的物理背景及含义

【学习目标】
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
【知识要点】
1.一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。①W（功）是 量，
②F（力）是 量，③S（位移）是 量，④α范围是 。
2、数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos
定义说明：①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
3.向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。学生讨论，并完成下表：
的范围 0°≤<90° =90° 0°<≤180°
·的符号



4．向量的数量积的几何意义:设两个非零向量a，b，它们的夹角为θ.
(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
5．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角．(1)a⊥b?a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]　对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
6．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．


【典型例题】
类型一:数量积概念
例1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　)
(3)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　)(4)若a·b＝0，则a⊥b.(　　)


变式1．已知下列命题：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|<|a·b|；④a·a·a＝|a|3；⑤若向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角．其中所有正确命题的序号是________．

类型二:向量数量积的运算
例2 .(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.



(2).已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为120°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|.


变式2.正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.


类型三:与投影有关的数量积运算
(1)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．

(2)△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，求·.


平面向量数量积的物理背景及含义 答案
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
变式1答案：①②对于①，∵a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，故①正确；
对于②，∵a＋b＝0，∴a与b互为相反向量，设a与c夹角为θ，则b与c夹角为π－θ，则a·c＝|a||c|cos θ，b·c＝|b||c|cos(π－θ)＝－|b||c|cos θ，∴|a·c|＝|b·c|，所以②正确；
对于③，|a·b|＝|a|·|b||cos θ|≤|a|·|b|，故③错误；
对于④，a·a·a＝|a|2·a，其结果为向量，故④错误；
对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，a·b＝|a||b|cos 0＝|a|·|b|>0，但夹角不是锐角，故⑤错误．

例2解：　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
(2)①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos120°＝-3.
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22-5×3－3×32＝－34.
③|a－b|＝＝＝＝
变式2.∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
例3(1)解：∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，∴b在a方向上的投影是|b|cos 60°＝1.
(2)·＝·(－)＝·－·，
∵在上的投影为||，∴·＝||·||＝2.同理，·＝||·||＝.∴·＝－2＝.









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