2.4 平面向量的数量积 学案

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学案 平面向量的数量积


【学习目标】
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示，及平面内两点间的距离公式
【知识要点】
(1)平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(3)三个重要公式
①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝
③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ .


类型一　平面向量数量积的坐标运算
例1．(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12 B．0 C．－3 D．－11


(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3


(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________．


变式1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4


2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)
A. B．3 C．－ D．－3


数量积运算的途径及注意点:
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解。


类型二　向量模的问题
例2.(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a－b|的最小值为________．


(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．


求向量的模的两种基本策略：
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.



类型三　向量的夹角与垂直问题
例3．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．




变式3．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．
(1)a与b的夹角为90°.
(2)a与b的夹角为锐角．





解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.


平面向量的数量积第一课时 答案
例1．答案：(1)C　(2)C　(3)(3,4)或(4,3) 解　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
(3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3,4)或c＝(4,3)．
变式1.解：选D　a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，可得3k－(k＋2)＝0，解得k＝1，则a＝(1,1)，从而a·b＝1×2＋1×2＝4.2.解：选D　向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
例2.解　(1)∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2,4－3x)，∴|a－b|＝＝＝.∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.
(2)①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得或∴e＝或.答案：(1)
例3解(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m、n的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m、n的夹角为.
变式3：解：(1)设a与b的夹角为θ.|a|＝＝，|b|＝，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a⊥b，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－
(2)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b>0且a与b不同向．因此1＋2λ>0，所以λ>又a与b共线且同向时，λ＝2.
所以a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪(2，＋∞)






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