沪科版数学七上3.2一元一次方程及其应用专题（含答案解析）

一元一次方程及其应用专题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
一、单选题（每题4分共40分)
1．下列方程属于一元一次方程的是( )
A．＝4 B．3x﹣2y＝1 C．1﹣x2＝0 D．3x＝4
2．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（　　）

A． B． C． D．
3．下列变形正确的是?( )
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
4．解方程，去分母正确的是( )
A．3(x﹣1)﹣4x+3＝1 B．3(x﹣1)﹣2(x+3)＝1
C．3x﹣1﹣4x+3＝6 D．3(x﹣1)﹣2(2x+3)＝6
5．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为283，则满足条件的x不同值最多有( )

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6．某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分4本，则还缺25本．若设该校七年一班有学生x人，则下列方程正确的是(　　)
A．3x﹣20＝24x+25 B．3x+20＝4x﹣25
C．3x﹣20＝4x﹣25 D．3x+20＝4x+25
7．规定，若，则 （ 　　）
A．0 B．3 C．1 D．2
8．若a为方程的解，则的值为（ ）
A．12 B．4 C．9 D．16
9．如图，电子蚂蚁P、Q在边长为1个单位长度的正方形ABCD的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2017次相遇在（ ）

A．点A B．点B C．点C D．点D
10．某市居民用电价格改革方案已出台，为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯制价格（见表）：
“一户一表”用电量 不超过a千瓦时 超过a千瓦时的部分
单价（元/千瓦时） 0.5 0.6

乐乐家12月份用电200千瓦时，交电费105元，则a的值为（　　）
A．90 B．100 C．150 D．120

第II卷（非选择题)
二、填空题（每题5分共20分)
11．当m=________________时，关于x的方程（m3）x22mx+1=0是一元一次方程.
12．当x=_____时，的值与方程x+2=4的解互为倒数．
13．某通信公司的移动电话计费标准每分钟降低a元后，再下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原来收费标准每分钟是_____元．
14．如图是2018年1月份的日历，在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数.如果被圈出的三个数的和为63，则这三个数中最后一天为2018年1月______号.?


三、解答题（满分90分)
15．解方程：
（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）；
（2）.
16．已知关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍，求m的值．
17．已知甲沿周长为300米的环形跑道按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒．
(1)若a＝1，求甲、乙两人第一次相遇所用的时间；
(2)若a＞3，甲、乙两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．

18．元旦期间，七（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，明明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
⑴ 明明他们一共去了几个成人，几个学生？
⑵ 请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由。
⑶ 购完票后，明明发现七（2）班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的购票费用.
19．已知关于的方程中，求当取什么整数值时，方程的解是整数．
20．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：甲工程队单独完成此项工程需要10天，乙工程队单独完成此项工程需要15天，但甲工程队每天的工程费用比乙工程队多300元；甲、乙两队合作共需要10200元．工程指挥队决定从甲、乙两个工程队中选一队单独完成，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？
21．一张方桌由个桌面和条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面个或做桌腿条，现有木料，那么应需要多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿才能使桌面和桌腿正好配套？
22．阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值．
解：当时，即时：原式；
当时，即时：原式．
这种解题的方法叫“分类讨论法”．
请你用“分类讨论法”解一元一次方程：．
23．如图在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，用x（秒）表示运动时间．
（1）求点P和点Q相遇时的x值．
（2）连接PQ，当PQ平分矩形ABCD的面积时，求运动时间x值．
（3）若点P、点Q运动到6秒时同时改变速度，点P的速度变为每秒3cm，点Q的速度为每秒1cm，求在整个运动过程中，点P、点Q在运动路线上相距路程为20cm时运动时间x值．




参考答案
1．D
【解析】
【分析】
定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程.注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程.
【详解】
A、等式左边不是整式，故不是一元一次方程；
B、含有两个未知数，故不是一元一次方程；
C、未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；
D、符合一元一次方程的定义；
故选D．
【点睛】
熟记一元一次方程的定义是解题关键.
2．B
【解析】
【分析】
解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，即分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．
【详解】
设从8：30点开始，经过x分钟，时针和分针第一次重合，由题意得：
6x-0.5x=75
5.5x=75
x=，
答：至少再经过分钟时针和分针第一次重合．
故选：B．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，钟表上的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似，行程问题中的距离相当于这里的角度，行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．
3．B
【解析】
【分析】
根据等式的性质一一判断即可．
【详解】
A．错误．若x2=y2，则|x|=|y|；
B．正确；
C．错误．若x(x-2)=5(2-x)，则x=－5或x=2；
D．错误．当m+n=0时，不成立．
故选B．
【点睛】
本题考查了等式的性质，记住：等式性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
4．D
【解析】
【分析】
去分母的方法是：方程左右两边同时乘以各分母的最小公倍数，这一过程的依据是等式的基本性质，注意去分母时分数线起到括号的作用，容易出现的错误是：漏乘没有分母的项，以及去分母后忘记分数线的括号的作用，符号出现错误．
【详解】
方程左右两边同时乘以6得：3（x-1）-2（2x+3）=6．
故选：D．
【点睛】
在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项；注意只是去分母而不是解方程．
5．B
【解析】
【分析】
根据题意重复代入求值即可解题.
【详解】
解：令3x+1=283,解得x=94,
令3x+1=94,解得x=31,
令3x+1=31,解得x=10,
令3x+1=10,解得x=3,
令3x+1=3,解得x=,
综上一共有5个正数,
故选B.
【点睛】
本题考查了程序框图的循环,属于简单题,找到循环节是解题关键.
6．B
【解析】
【分析】
如果每人分 3 本，则剩余 20 本，此时这些图书的数量可表示为3x+20；如果每人分 4 本，则还缺25本，此时这些图书的数量可表示为4x-25，据此列出方程即可.
【详解】
解：根据题意可得：3x+20=4x﹣25．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找到图书的数量是相等的是解题关键.
7．C
【解析】
【分析】
根据规定,可将转化为方程:,解方程即可.
【详解】
因为,
所以可得,
解得,
故选C.
【点睛】
本题主要考查新定义运算,解决本题的关键是要根据新定义规则列出方程.
8．B
【解析】
【分析】
根据为方程的解，可以求得的值，从而可以求得题目中所求式子的值.
【详解】
为方程的解，
，
，
.
故选：.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.
9．B
【解析】
【分析】
根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而发现规律，求出第2018次相遇的地点，本题得以解决．
【详解】
由题意可得：两只蚂蚁第一次相遇时，4÷（）＝2（秒），此时在点B，则两只蚂蚁第二次相遇在点C，第三次相遇在点D，第四次相遇在点A．
∵2018÷4＝504…2，∴它们第2018次相遇在点C．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，发现其中规律，找出第2018次相遇的地点．
10．C
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：不超过a千瓦时的电费+超过a千瓦时的电费=105元，根据等量关系列出方程，解出a的值即可．
【详解】
由题意得：0.5a+0.6（200-a）=105，
解得：a=150，
故选C.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出适当的等量关系列出方程是解题关键.
11．3
【解析】
【分析】
根据二次项系数为零且一次项系数不为零是一元一次方程，可得答案．
【详解】
解:由关于x的方程（m-3）x2-2mx+1=0是一元一次方程，得
m-3=0.
解得m=3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义，解题关键是利用二次项系数为零且一次项系数不为零是一元一次方程得出关于m的方程．
12．
【解析】
【分析】
解方程x+2=4可得x=2，再由x﹣的值与方程x+2=4的解互为倒数，可得方程x﹣=，解方程求得x的值即可.
【详解】
解方程x+2=4可得x=2，
∵x﹣的值与方程x+2=4的解互为倒数，
∴x﹣=，
解得：x=．
即当x=时x﹣的值与方程x+2=4的解互为倒数．
故答案为：.
【点睛】
本题关键考查了互为倒数的概念，由此找出相等关系，使其转化成解方程的问题，解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x=a的形式．在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
13．（a+b）．
【解析】
【分析】
原收费标准=现在的收费标准÷（1-20%）+a，把相关数值代入化简即可．
【详解】
解：∵下调了20%的收费标准是每分钟b元，
∴第一次下调后的价格为b÷(1?20%)=b×=b，
∴原收费标准是每分钟（a+b）元．
故答案为：（a+b）．
【点睛】
本题考查列代数式.
14．28
【解析】
【分析】
本题要先观察任意圈出一个竖列上相邻的3个数的规律，通过观察可得到从上到下3个数依次大7，据此规律可设最上边一个数为x，再表示出另外两个数，列出方程，求解．
【详解】
设被圈出的三个数的和为63的3个数中最上边一个数为x，则另外两个数依次为：x+7，x+14，根据题意列方程得：
x+x+7+x+14=63，
解方程得：x=14，
则这三个数中最后一天为x+14=14+14=28．
故答案为：28．
【点睛】
本题考查了的知识点是数字的规律和一元一次方程的应用，其关键是先观察分析总结出规律，根据题意列方程求解．
15．（1）：x＝5；（2）x＝﹣9．
【解析】
【分析】
（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
（1）去括号得：3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣6，
移项得：3x﹣7x+2x＝3﹣6﹣7，
合并同类项得：﹣2x＝﹣10，
系数化为1得：x＝5，
（2）去分母得：2（x﹣1）﹣（3x﹣1）＝8，
去括号得：2x﹣2﹣3x+1＝8，
移项得：2x﹣3x＝8+2﹣1，
合并同类项得：﹣x＝9，
系数化为1得：x＝﹣9．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都要乘以各分母的最小公倍数．
16．m＝0．
【解析】
【分析】
分别解方程m+＝4和方程，得到两个含有m的解，根据“关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍”，列出关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】
解方程m+＝4得：x＝12﹣3m，
解方程得：x＝m﹣6，
根据题意得：
2(m﹣6)＝12﹣3m，
解得：m＝0．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
17．(1) 50秒;(2) 5.5.
【解析】
【分析】
（1）根据时间=路程差÷速度差，列出算式计算即可求解；
（2）根据甲的路程-乙的路程=300-100，列出方程计算即可求解．
【详解】
(1)设甲、乙两人第一次相遇所用的时间为x秒，根据题意，得：
3x－x＝100
解这个方程，得：x＝50．
答：设甲、乙两人第一次相遇所用的时间为50秒．
(2)根据题意，得：
80a－80×3＝300－100
解这个方程，得：a＝5.5．
答：的值为5.5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
18．（1）8个成人，4个学生;（2）买团体票省钱;（3）540
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以算出团购的费用，然后与（1）中300比较大小，即可解答本题；
（3）根据题意，可以知道学生按照学生票购买，成人按团体票购买最省钱，然后求出相应的费用即可解答本题．
【详解】
（1）设一共去了x个成人，则学生（12-x）人，
30x+0.5×30×（12-x）=300，
解得，x=8．
∴12-x=12-8=4，
答：一共去了8个成人，4个学生；
（2）买团体票更省钱，
理由：∵购买团体票时，花费为：30×0.6×16=288（元），
∵288＜300，
∴买团体票更省钱；
（3）两个班共有12名学生，20名家长，
20名家长成人买团体票，12名学生买学生票更省钱，
费用为：20×0.6×30+12×0.5×30=360+180=540（元），
答：购票总费用为540元．
【点睛】
考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程．
19．k=?3或?1或?4或0或?6或2.
【解析】
试题分析：首先去括号、移项、合并同类项化简方程，然后根据x是整数即可求得k的值．
试题解析：去括号，得kx+k=k?2x+4，
移项，得kx+2x=k?k+4，
合并同类项,得(k+2)x=4.
方程的解是整数，则k+2=±1或±2或±4.
则k=?3或?1或?4或0或?6或2.
20．从节省资金的角度考虑，应选甲工程队
【解析】
【分析】
设甲工程队每天的工程费用为x元，则乙工程队每天的工程费用为（x-300）元，根据甲、乙两队合作共需要10200元列出方程并解答．
【详解】
设甲工程队每天的工程费用为x元，则乙工程队每天的工程费用为（x﹣300）元，
依题意得：1÷（+）=6（天）．
6×[x+（x﹣3）]=10200，
解得x=1000，
则甲队完成需要的费用：1000×10=10000（元）
乙队完成需要的费用：（1000﹣300）×15=10500（元）
因为10000＜10500，
所以从节省资金的角度考虑，应选甲工程队．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.
21．需要立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿才能使桌面和桌腿正好配套．
【解析】
【分析】
设用x立方米的木料做桌面，则有10－x立方米的木料做桌腿,所以能做成40x张桌面和240(10-x)条桌腿, 由于一张方桌由1个桌面,4条桌腿组成，要使做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌，须使得：40x=240(10-x)÷4.
【详解】
解：设用x立方米的木料做桌面，则有10－x立方米的木料做桌腿
所以能做成40x张桌面和240(10-x)条桌腿
由于一张方桌由1个桌面,4条桌腿组成，要使做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌，
须使得：40x=240(10-x)÷4.
即160x=240(10-x).
解得x=6. 10-x=4
所以用6立方米的木料做桌面，4立方米的木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌.
【点睛】
本题考核知识点：一元一次方程应用.解题关键点：理解好配套关系.
22．或
【解析】
试题分析：分为两种情况，当2x﹣1≥0或2x﹣1＜0，先去掉绝对值符号，求出即可．
试题解析：解：当2x﹣1≥0时，原方程可化为：2x﹣1=3，解得：x=2，当2x﹣1＜0时，原方程化为﹣（2x﹣1）=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x=2或x=﹣1．
点睛：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．
23．（1）x= ；（2）4 或20；（3）4或14.5
【解析】
试题分析：（1）根据P、Q两点运动的路程和等于AB+BC+CD列方程求解即可；
（2）分点P在AB边上，点Q在CD边上和点Q运动到A点，点P运动到点C两种情况进行讨论即可得；
（3）分变速前与变速后两种情况进行即可得.
试题解析：（1）由题意得：x+2x=12×2+8，解得： x= ；
（2）当点P在AB边上，点Q在CD边上，由题意得：2x=12-x 解得，x=4 ；
当点Q运动到点A时，用时（12+8+12）÷2＝16秒，此时点P运动到BC边上，当点P运动到点C时，PQ平分矩形ABCD的面积，此时用时：(12+8)÷1=20 秒，
综上：当PQ平分矩形ABCD在面积时，x的值为4或20；
（3）变速前：x+2x=32-20，解得：x=4 ；
变速后：12+（x-6）+6+3×(x-6)=32+20，解得：x=14.5；
综上：x的值为4或14.5.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过数形结合、分类讨论进行分析是解题的关键.



试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页