高一（上）集合不等式函数综合复习一（20190908）师

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高一（上）集合、不等式、函数综合复习一（20190908）
一、选择题
1．集合 A = x f x = x ,B = x f f x = x ，则集合 A 与集合 B 之间的关系（ ）
2．已知非空集合 A,B 满足以下两个条件：
（ⅱ）A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素，
则有序集合对 A,B 的个数为 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3 ． 已 知 方 程 ? ?? ?? ?2 2 21 2 36 6 6 0x x b x x b x x b? ? ? ? ? ? ? 的 所 有 解 都 为 自 然 数 ， 其 组 成 的 解 集 为
? ?1 2 3 4 5, , , ,A x x x x x? ，则 1 2 3b b b? ? 的值不可能为（ ）
A．13 B．14 C．17 D． 22
4．设 p： 2x ? 1 ≤ 1，q:(x ? a)[x ? (a + 1)] ≤ 0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[0, 1
2
] B．(0, 1
2
) C．( ? ∞,0)∪ [ 1
2
, + ∞) D．( ? ∞,0)∪ ( 1
2
, + ∞)
5．设 3, 1x R x x x? ? ?则“ ”是“ ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
6．函数 f(x) = x|x|．若存在 x ∈ [ 1, + ∞ )，使得 f(x ? 2k) ? k < 0，则 k的取值范围是
A．(2, + ∞) B．(1, + ∞) C．( 1
2
, + ∞) D．( 1
4
, + ∞)
7．命题“ , | | 1x R x? ? ?使得 ”的否定是 （ ）
A． , | | 1x R x? ? ?都有 B． , | | 1x R x? ? ?都有
C． , | | 1x R x? ? ?都有 D． , | | 1x R x? ? ?都有
2
8．定义域为 R的函数 ? ?f x 满足 ? ? ? ?2 2f x f x? ? ，当 ? ?0,2x 时， ? ?
? ?
? ?
2
3
2
, 0,1
1 , 1, 2
2
x
x x x
f x
x
?
? ? ?
??? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??
，若当
? ?4, 2x? ? ? 时，不等式 ? ?
2 1
4 2
mf x m? ? ? 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．? ?2,3 B． ? ?1,3
C．? ?1,4 D．? ?2,4
9．设 0. 23
1log 0.6, log
2
0.6m n? ? ，则（ ）
A．m n mn m n? ? ? ? B．m n m n mn? ? ? ?
C．mn m n m n? ? ? ? D．m n m n mn? ? ? ?
10．已知 1, 0, 0x y y x? ? ? ? ，则
1
2 1
x
x y
?
?
的最小值是( )
A．
1
2
B．
1
4
C．
3
4
D．
5
4
11．已知单调函数 ( )f x 的定义域为 (0, )?? ，对于定义域内任意 x， ? ?2( ) log 3f f x x? ? ，则函数
( ) ( ) 7g x f x x? ? ? 的零点所在的区间为（ ）
A． (1, 2) B． (2,3) C． (3,4) D． (4,5)
12．设函数 ( )( )f x x R? 满足 ( ) ( )f x f x? ? ， (2 ) ( )f x f x? ? ，且当 [0,1]x? 时， 3( )f x x? ，又函数 4( ) logg x x? ，
则函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x? ? 零点的个数为（ ）
A．6 B．5 C． 4 D．3
二、填空题
13．设函数 ( )f x 的定义域为 D，如果存在正实数 m，使得对任意 x D? ，都有 f (x m) f (x)? ? ，则称 f (x)为 D 上
的“m 型增函数”，已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 0x ? 时， ( ) ( )f x x a a a R? ? ? ? ．若 ( )f x 为 R
上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是________．
3
14．已知偶函数 ? ? ( )y f x x R? ? 在区间[ 1,0]? 上单调递增，且满足 (1 ) (1 ) 0f x f x? ? ? ? ，给出下列判断：
① ? ?5 0f ? ；
② ? ?f x 在 ? ?1,2 上是减函数；
③函数 ? ?f x 没有最小值；
④函数 ? ?f x 在 0x ? 处取得最大值；
⑤ ? ?f x 的图象关于直线 1x ? 对称．
其中正确的序号是________．
16．已知定义在 R上的函数 ? ?f x ，满足 ? ? ? ? ? ? ? ?, +3f x f x f x f x? ? ? ? ，当 3(0, )
2
x? 时，
? ? ? ?2ln 1f x x x? ? ? ，则函数 ? ?f x 在区间? ?0,6 上的零点个数是____.
三、解答题
4
18．已知幂函数
22 4 2( ) ( 1) m mf x m x ? ?? ? 在 (0, )?? 上单调递增，函数 ( ) 2g x x k? ? ．
（1）求m的值；
（2）当 [1,2]x? 时，记 ( )f x ， ( )g x 的值域分别为集合 ,A B ，若 A B A? ? ，求实数 k的取值范围．
5
20．已知 ? ?| 4A x x a? ? ? , ? ?? ?22log 4 1 2B x x x? ? ? ?
（1）若 1a ? ,求 A B?
（2）若 A B? R? ,求实数 a的取值范围.
21．记集合 M＝｛x｜y＝ 3 1x x? ? ? ｝，集合 N＝{y|y＝x2﹣2x+m}．
（1）若 m＝3，求 M∪N；
（2）若 M∩N＝M，求实数 m 的取值范围．
6
高一（上）集合、函数、不等式部分拔高训练（20190908）
一．已知两个不同的方程 072 ??? kxx 和 0162 ???? kxx 有公共实根。求 k的值。
答案： 6??k
二．已知 012 ??? xx ，求 120172018 ?? xx 的值。
答案：0
三．求函数 0,
2
133)( 2 ＞xxxxxf ???? 的最小值。
答案：
2
3
四．已知对任意的正实数 21 ?? a ， 32 ,, kaaa 均可作为三角形的三条边长，求实数 k的取值范围。
答案： ?
?
?
?
?
?
4
3
4
1
，
五．（2019 全国数学联赛山东省预赛试题）已知 }1)2(log|{ 23 ??? xxxA ， ),(],( ????? baB ? 其中 ba ? ，
如果 ?BA? R，那么 ba ? 的最小值是
答案： 1?
7
六．已知函数
??
?
?
?
?
??
?
.9,4
,90,1log
)( 3
＞
＜
xx
xx
xf 设 cba ,, 是三个互不相同的实数，且 )()()( cfbfaf ?? ，求
abc的取值范围。
? ?144,81
七．（2019 全国数学联赛山东省预赛试题）设函数 baxxxf ??? 2)( ，对于任意的 R?ba, ，总存在 ]4,0[?t ，
使得 mtf ?|)(| 成立，则实数m的最大值是
答案：2
小专题：平口单峰函数。（说明：2019 届高三的四调考到这个知识点，绝大多数学生不了解，但部分牛娃猜对了
答案。）
一．定义：如果函数 )(xf 在区间 ? ?ba, 连续，且在 ? ?0, xa ， ? ?bx ,0 先增再减（或者先减再增），满足 )()( bfaf ? ，
则称函数 )(xf 为平口单峰函数（开口向上的称平口单谷，开口向下的称平口单峰，但我们一般都称平口单峰）
二．提出问题：如果函数 )(xf 是区间 ? ?ba, 上的平口单峰函数，求函数 mkxxfxg ??? )()( 的最大值的最小值。
三．解决问题：当且仅当 0?k ，
2
)()( 0xfafm ?? 时，函数 )(xg 的最大值的最小值可以取到
2
)()( 0xfaf ?
。
8
例 1：已知函数 mkx
x
xxf ???? 1)( ，当 ??
?
??
?? 3,
3
1x 时，设 )(xf 的最大值为 ),( mkM ，求 ),( mkM 的最小值。
答案：
3
2
练习：已知函数 mkxxxf ???)( ，若对任意的 mk , 总存在 0x ? ?4,0? ，使得 txf ?)( 0 成立，求实数 t的取值范
围。
答案：
4
1
9
参考答案
1．A
设 a ∈ A，则 a = f(a), ∴ f[f(a)] = f(a) = a, ∴ a ∈ B，说明集合 A 的元素一定是集合 B 的元素，则 A ? B，选 A.
2．A
根据条件：A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素，分别讨论集合 A、B 中元素的个数，列
举所有可能，即可得到结果。
根据条件：A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素
1、当集合 A 只有一个元素时，集合 B 中有 5 个元素，1 ? A 且 5 ? B，此时仅有一种结果 A = {5}，B = {1,2,3,4,6}；
2、当集合 A 有两个元素时，集合 B 中有 4 个元素，2 ? A 且 4 ? B，此时集合 A 中必有一个元素为 4，集合 B 中必
有一个元素为 2，故有如下可能结果：
（1）A = {1,4}，B = {2,3,5,6}；（2）A = {3,4}，B = {1,2,5,6}；（3）A = {5,4}，B = {1,2,3,6}；（4）A = {6,4}，B = {1,2,3,5}。
共计 4 种可能。
3、可以推测集合 A 中不可能有 3 个元素；
4、当集合 A 中的 4 个元素时，集合 B 中的 2 个元素，此情况与 2 情况相同，只需 A、B 互换即可。共计 4 种可能。
5、当集合 A 中的 5 个元素时，集合 B 中的 1 个元素，此情况与 1 情况相同，只需 A、B 互换即可。共 1 种可能。
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为 10。答案选 A。
本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键。
3．A
【解析】当 1 2 3, ,b b b 分别取0,5,9时， ? ?0,6,1,5,3A ? ， 1 2 3 14b b b? ? ? ，排除B，
当 1 2 3, ,b b b 分别取0,8,9时， ? ?0,6,2,4,3A ? ， 1 2 3 17b b b? ? ? ，排除C，
当 1 2 3, ,b b b 分别取5,8,9时， ? ?1,5,2,4,3A ? ， 1 2 3 22b b b? ? ? ，排除D，故选 A.
4．A
【解析】试题分析：解不等式 2x ? 1 ≤ 1， ，解不等式(x ? a)[x ? (a + 1)] ≤ 0
，q 是 p的必要而不充分条件，则
考点：1.解不等式；2.集合包含关系；3.充要条件；
5．B
6．D
【解析】将函数 f(x) 的图象向右平移 2k 个单位后得到函数 f(x ? 2k) 的图象，
10
函数 f(x) = { x
2,x ≥ 0
? x2,x < 0
是 R 上的单调递增函数，则 f(x ? 2k) 也是 R 上的单调递增函数，则满足题意时：f(x ?
2k) < k 只需当 x = 1 时 f(1 ? 2k) < k 成立，分类讨论：
当 1 ? 2k ≥ 0,k ≤ 1
2
时：f(1 ? 2k) = (1 ? 2k)2 < k ，
解得：
1
4
< k < 1 ，此时：1
4
< k ≤ 1
2
，
当 1 ? 2k < 0,k > 1
2
时：f(1 ? 2k) =? (1 ? 2k)2 < k ，
解得：k ∈ R ，此时：k > 1
2
，
综合以上两种情况可得 k的取值范围是 ( 1
4
, + ∞).
点睛：无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的
阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决。但需要注意一点，不能形成定势思维：有参
数就一定要分类讨论。
7．B
8．B
先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.
因为当 ? ?4, 2x? ? ? 时，不等式 ? ?
2 1
4 2
mf x m? ? ? 恒成立，所以 ? ?
2
min
1
4 2
mf x m? ? ? ，
当 ? ? ? ?4, 2 , 4 0,2x x? ? ? ? ? 时，
? ? ? ? ? ?1 12 4
2 4
f x f x f x? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
2
34
2
1 4 4 , 4 0,1
4
1 1 , 4 1,2
4 2
x
x x x
x
? ?
? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ?
? ?? ? ? ?? ?? ? ??
当 ? ?4 0,1x ? ? 时， ? ? ? ? ? ?21 1 1 14 4
4 4 4 16
f x x x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ，当 ? ?4 1,2x ? ? 时，
? ?
34
21 1 1
4 2 4
x
f x
? ?
? ?? ? ? ?? ?
? ?
，因此当 ? ?4, 2x? ? ? 时， ? ?
2
min
1 1 1 3
4 4 2
mf x m m? ? ? ? ? ? ? ? ，选 B.
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一
端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意
分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
9．B
利用单调性，通过取中间值，即可得到 0, 0m n? ? .再不等式的性质，以及对数的运算，即可得到 0?? nm .再通
过作差法，即可得到m n m n? ? ? ，从而得到 , ,m n m n mn? ? 的大小比较.
11
因为 0.3 0.3 2 2
1 1log 0.6 log 1 0, log 0.6 log 1 0
2 2
m n? ? ? ? ? ? ，
所以 0, 0mn m n? ? ? ，
因为 0.6 0.6 0.6
1 12log 2 log 0.25 0, log 0.3 0
n m
? ? ? ? ? ? ? ，而 0.6 0.6log 0.25 log 0.3? ，
所以
1 1 0
n m
? ? ? ，即可得 0?? nm ，
因为 ( ) ( ) 2 0m n m n n? ? ? ? ? ? ，所以m n m n? ? ? ，
所以m n m n mn? ? ? ? ，故选 B.
本题主要考查了比较大小的问题，涉及到单调性的运用、对数运算公式以及不等式的性质应用，属于中档题.对于比
较大小问题，常用的方法有：（1）作差法，通过两式作差、化简，然后与 0进行比较，从而确定大小关系；（2）作
商法，通过两式作商、化简（注意分母不能为零），然后与1进行比较，从而确定大小关系；（3）取中间值法，通过
取特殊的中间值（一般取0, 1? 等），分别比较两式与中间值的大小关系，再利用不等式的传递性即可得到两式的大
小关系；（4）构造函数法，通过构造函数，使得两式均为该函数的函数值，然后利用该函数的单调性以及对应自变
量的大小关系，从而得到两式的大小关系.
10．C
由 1,x y? ? 0y ? 得 1 0y x? ? ? ,可得 1x ? 且 0x ? ，分类讨论，分别将原不等式去掉绝对值符号，利用基本不等
式求其最小值，综合两种情况可得结果.
由 1,x y? ? 0y ? 得 1 0y x? ? ? ,
计算得出 1x ? 且 0x ? .
①当0 1x? ? 时，
1 | | 1 1 2
2 | | 1 2 1 2 2 4 2
x x x x x x
x y x y x x x x
? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 1 2 52
4 4 2 4 4 2 4
x x x x
x x x x
? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ?
,
当且仅当
2
4 2
x x
x x
?
?
?
,即
2
3
x ? 时取等号,此时的最小值 5
4
.
②当 0x ? 时,
1 | | 1 2 2 1
2 | | 1 2 2 4 2 4 2 4
x x x x x x x
x y x x x x x x
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
,
0, 0, 2 0x x x? ? ? ? ? ?? ，
1 | | 2 1 2 1 1 32 1
2 | | 1 4 2 4 4 2 4 4 4
x x x x x
x y x x x x
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
，
当且仅当
2
4 2
x x
x x
?
? ? ?
?
,
12
即
2 2(2 ) 4x x? ? ,即 23 4 4 0x x? ? ? ,计算得出 2x ? ? 或 2
3
x ? 时(舍)取等号,此时最小值为 3
4
,
综上，
1 | |
2 | | 1
x
x y
?
?
最小值为
3
4
,故选 C.
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，
三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和
最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用?
或?时等号能否同时成立）.
11．C
令 2( ) logt f x x? ? ，则 ? ? 2logf x x t? ? 且 ? ? 3f t ? 可得 ? ? 2log 3f t t t? ? ? 可知 2t ? ，写出
? ? 2log 5g x x x? ? ? ，根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.
根据题意，对任意的 (0, )x? ?? ，都有 ? ?2( ) log 3f f x x? ? ，又由 ? ?f x 是定义在 ? ?0 +?， 上的单调函数，则
2( ) logf x x? 为定值，设 2( ) logt f x x? ? ，则 ? ? 2logf x x t? ? ，又由 ? ? 3f t ? ，∴ ? ? 2log 3f t t t? ? ? ，所以
2t ? ，所以 ? ? 2log 2f x x? ? ，所以 ? ? 2log 5g x x x? ? ? ，因为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 2 0 3 0 4 0 5 0g g g g g? ? ? ? ?， ， ， ， ，所以零点所在的区间为（3，4）.
本题主要考查了抽象函数的性质，零点存在性定理，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，属于难题.
12．A
函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x? ? 零点的个数即为函数 ? ?y g x? 与 ? ?y f x? 的图象的交点个数，由题意可以作出函数
? ?y g x? 与 ? ?y f x? 的图象，则答案易得.
因为 ( ) ( )f x f x? ? ，所以函数 ( )f x 是偶函数，图象关于 y轴对称.
因为 (2 ) ( )f x f x? ? ，所以函数 ( )f x 的图象关于直线 1x ? 对称.
当 [0,1]x? 时， 3( )f x x? ，于是可以作出函数 ( )f x 的图象.
再作出 4( ) logg x x? 的图象，结合 ( 4) (4) 1g g? ? ? ,
可知函数 ? ?y g x? 与 ? ?y f x? 的图象有6个交点，
所以函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x? ? 有6个交点.故选 A.
13
本题考查函数的零点.函数的零点即相应方程的根，也是函数图象与 x轴交点的横坐标.函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x? ? 的零
点即为函数 ? ?y g x? 与 ? ?y f x? 图象的交点的横坐标.若函数的图象同时关于直线 x a? 和 x b? 对称，则该函数为
周期函数且 2 a b? 为一个周期.
13． ( ,5)??
先求出函数 f (x)的解析式，再对 a 分类讨论结合函数的图像的变换分析解答得解.
∵函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数且当 0x ? 时， ( )f x x a a? ? ? ，
∴
( 0)
( ) 0 ( 0)
( 0)
x a a x
f x x
x a a x
? ? ? ?
?? ??
?? ? ? ??
，
∵ ( )f x 为 R 上的“20 型增函数”，∴ ( 20) ( )f x f x? ? ，
1?当 0a 时，由 ( )f x 的图象(图 1)可知，向左平移 20 个单位长度得 ( 20)f x ? 的图象显然在 ( )f x 图象的上方，显然
满足 ( 20) ( )f x f x? ? ．
图 1 图 2
2? 当 0a ? 时，由 ( )f x 的图象(图 2)向左平移 20 个单位长度得到 ( 20)f x ? 的图象，要 ( 20)f x ? 的图象在 ( )f x 图
象的上方．∴ 2 20 2a a? ? ? ，∴0 5a? ? ，综上可知： 5a ? .故答案为： ( ,5)??
本题主要考查函数图像的变换和函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
14．①②④
先利用题中等式推出 ? ? ? ?2f x f x? ? ? ，进一步推出 ? ? ? ?4f x f x? ? ，得知该函数是周期为 4的周期函数，作
14
出满足条件的图像可得出答案。
因为 ? ? ? ?1 1 0f x f x? ? ? ? ，所以 ? ? ? ? ? ?1 1 1f x f x f x? ? ? ? ? ? ? ，
所以 ? ? ? ?2f x f x? ? ? ，所以 ? ? ? ?4f x f x? ? ，即函数 ? ?f x 是周期为 4 的周期函数．
由题意知，函数 ? ?? ?y f x x R? ? 关于点 ? ?1,0 对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
故答案为：①②④.
本题考查抽象函数的相关问题，解题的关键在于充分利用题中等式进行推导，进一步得出函数的单调性、周期性、
对称性等相关性质，必要时结合图象来考查。
15．{ | 2 3 0}a a a? ? ?或
对 0a ? ， =0a ， 0a ? 三种情况分别讨论可得到取值范围.
当 0a ? 时，而 x a? 时， max( ) 3 0f x a? ? ，则零点在右段函数取得，故 x a时，
2
min( ) 3 02 4
a af x f ? ?? ? ? ?? ?
? ?
，
解得 ? ?2 3 2 3a a? ? ?或 舍 ；当 =0a 时， (0) 0f ? 不成立；当 0a ? 时，负零点在左端点取得，于是 x a时，
? ?min( ) 3 0f x f a? ? ? ，成立；综上所述，实数 a的取值范围是? ?| 2 3 0a a a? ? ?或 .
本题主要考查分段函数含参零点问题，意在考查学生的分类讨论能力，计算能力，分析能力，难度较大.
16．9
令 ? ? ? ?2ln 1 0f x x x? ? ? ? ，先求出当 3(0, )
2
x? 时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断 ( )f x 在区间? ?0,6 上
零点的个数。由于定义在 R上的函数 ? ?f x ，满足 ? ? ? ?f x f x? ? ? ，?函数 ( )f x 为奇函数，则在? ?0,6 上必有
(0) 0f ? ，当 3(0, )
2
x? ，由 ? ? ? ?2ln 1 0f x x x? ? ? ? 得 2 1 1x x? ? ? ，即 2 0x x? ? ，可得： 1x ? ，故 (1) 0f ? ，
? ? ? ? ?+3f x f x? ，?函数 ( )f x 为周期为 3 的奇函数，
(0) (3) (6) 0f f f? ? ? ? ，此时有 3 个零点，又 (1) (4) 0f f? ? , ( 1) (1) 0f f? ? ? ? ， ( 1) (2) (5)=0f f f? ? ? ，
此时有 1，2，4，5 四个零点；
当
3 3 3 3 3, ( ) ( 3) ( ) ( )
2 2 2 2 2
x f f f f? ? ? ? ? ? ? ，故 3( ) 0
2
f ? ，
即
3 3 9( ) ( 3) ( ) 0
2 2 2
f f f? ? ? ? ，此时有两个零点 3 9,
2 2
综上所述：函数 ? ?f x 在区间? ?0,6 上的零点个数是 9.
15
本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点的个数，做到不重不漏，综合性较强，
属于中档题。
17．(1) 1 1{ | 4 },5x x x? ? ? ? ?或 { | 1 5}x x? ? ? ；(2) ( )1??， .
（1）先求出集合 A,B,再求 A B? ， ( )RA B? ? ；（2）由题得
2 1
2 4
2 2
a
a
a a
? ??
? ? ??
? ? ??
或 2 2a a? ? ?
，解不等式即得解.
（1）当 3a ? 时， 1 5{ | }A x x? ? ? ? ， 2 5 4 0} 1 4{ | { | }B x x x x x x? ? ? ? ? ? ?或 ， ? ?|1 4RB x x? ? ?? ，
∴ { }1 1 4 5|A B x x x? ? ? ? ? ? ?或 ， 1( }5) { |RA B x x? ? ? ? ?? }．
（2）因为 A B ??? ，
所以
2 1
2 4
2 2
a
a
a a
? ??
? ? ??
? ? ??
或 2 2a a? ? ? ，解得0 1a? ? 或 0a ? ，所以 a 的取值范围是 ( )1??，．
本题主要考查集合的运算和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18．（1） 0m ? ；（2）? ?0,1 .
（1）由幂函数的系数为1，得出 ? ?21 1m ? ? ，求出m的值，并将m的值代入函数 ? ?y f x? 的解析式，结合条件
函数 ? ?y f x? 在 ? ?0, ?? 上单调递增得出m的值；
（2）利用两个函数在区间 ? ?1,2 上的单调性得出 A、B，再由 A B A? ? ，得出 B A? ，于此得出关于 k的不等式
组，解出即可得出实数 k的取值范围.
（1）依题意得： ? ?21 1m ? ? ，解得 0m ? 或 2m ? ．
当 2m ? 时， ? ? 2f x x?? 在 ? ?0, ?? 上单调递减，与题设矛盾，故舍去， 0m? ? ；
（2）由（1）知， ? ? 2f x x? ，当 ? ?1,2x? 时， ? ?f x 、 ? ?g x 单调递增，
? ?1,4A? ? ， ? ?2 ,4B k k? ? ? ， A B A?Q U ， B A? ? ， 2 1 0 1
4 4
k
k
k
? ??
? ? ? ?? ? ??
，
故实数 k的范围? ?0,1 ．
本题考查幂函数概念和基本性质，考查集合的包含关系，在求解函数的值域问题时，要考查结合函数的单调性求出
函数的值域，本题的关键在于由集合的并集运算得出集合间的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中
等题.
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19．(1) 3| }={ 2A B t t? ? ? ? ? .(2) = 1 1{ | }M m m? ? ? .
（1）先求出集合 A,B,再求 A B? ；（2）由题得 23 3 2m? ? ? ? ? ，解不等式即得解.
（1）∵集合 2= 2{ 4 3 0 =| { | } }A t t x x tx t R? ? ?使 + ，
∴ ? ?21 (= 2 4 4 3 0)t t? ?+ + ，
∴ = 3 1{ | }A t t? ? ? ? ，∵集合 2= 2 2 =0{ | { | } }B t t x x tx t? ? ?使 + ，∴ 22=4 4 2 ) 0(t t? ? ? ? ，
∴ |={B t t ? 2 0}t? ?或 ，∴ 3| }={ 2A B t t? ? ? ? ? ．
（2）∵ ? ?g m A B? ? ，∴ 23 3 2m? ? ? ? ? ， 1 1m? ? ? ，∴ = 1 1{ | }M m m? ? ? ．
本题主要考查集合的化简和运算，考查集合与元素的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20．（1） ? ?| 3 1A B x x? ? ? ? ? ? ；（2）1 3a? ?
（1）先化简集合 A 和集合 B,再求A B? .(2)由 A 得 4 4a x a? ? ? ? ，再因为 A B R? ? 得到
4 1
4 5
a
a
? ? ??
? ? ??
,即得
1 3a? ? .
（1）当 1a ? 时,有 4 1 4x? ? ? ? 得 3 5x? ? ? ,
由 ? ?22log 4 1 2x x? ? ? 知 2 4 1 4x x? ? ? 得 5x ? 或 1x ? ? ,故 ? ?| 3 1A B x x? ? ? ? ? ? .
（2）由 4x a? ? 知 4 4x a? ? ? ? 得 4 4a x a? ? ? ? ,因为 A B R? ? ,所以
4 1
4 5
a
a
? ? ??
? ? ??
,得1 3a? ? .
本题主要考查集合的化简运算，考查集合中的参数问题，考查绝对值不等式和对数不等式的解法，意在考查学生对
这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21．（1）M∪N＝［1，＋∞）（2）m 2?
（1）先通过求函数的定义域，求得集合M ，当 3m ? 时，利用配方法求得二次函数的值域，也即求得集合 N ，然
后求两个集合的并集.（2）由（1）得到集合M 的范围，以及集合 N 的范围，集合 N 的范围含有参数m .根据
M N M?? ，得到M 是N 的子集，由此求得m的取值范围.
（1）M＝［1,3］，当 m＝3 时，N＝{y|y＝x2﹣2x+3}＝{y|y＝（x－1）2+2}＝［2，＋∞），所以，M∪N＝［1，＋∞）
(2) M N M,? ?? 可得M N? ，由（1）可知 M＝［1,3］，N＝［m-1，＋∞），则 m 2?
本小题主要考查函数的定义域，考查二次函数值域的求法，考查集合的并集和交集，考查子集的概念以及运用. 属
于基础题.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非
负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.