高一（上）基本初等函数综合复习（二）（老师）

1
高一（上）基本初等函数综合复习二（20190915）
一、选择题
1．已知 f x 是定义域为 ? ∞, + ∞ 的奇函数，满足 f 1 ? x = f 1 + x ．若 f 1 = 2，则 f 1 + f 2 + f 3 + ? + f 50 =
（ ）
A.? 50 B.0 C.2 D.50
2．已知函数 y = f x 是定义域为 R 的偶函数，且 f x 在 0, + ∞ 上单调递增，则不等式 f 2x ? 1 > f x ? 2 的解集为
（ ）
A. ? 1,1 B. ? ∞, ? 1 ∪ 1, + ∞
C. 1, + ∞ D. 0,1
3．若函数 f x 满足 f x + 1 = 1
2
f x ，则 f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）
A.
x
2 B.x +
1
2
C.2?x D.log1
2
x
4．如果函数 f(x) = 1
2
(m ? 2)x2 + (n ? 8)x + 1(m ≥ 0,n ≥ 0)在区间 1
2
,2 上单调递减，那么 mn 的最大值为( )
A.16 B.18 C.25 D.81
2
5．已知在(－∞，1]上递减的函数 f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数 t
的取值范围为( )
A.[－ 2， 2] B.[1， 2]
C.[2,3] D.[1,2]
6．已知函数 f(x) =
a ? |x + 1|,x ≤ 1
(x ? a)2,x > 1
，函数 g x = 2 ? f x ，若函数 y = f x ? g x 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范
围是（ ）
A.(2, + ∞) B. 2,3
C.(1, + ∞) D. 1,3
7．已知函数 f(x) =
|x| + 2,x < 1
x + 2
x
,x ≥ 1 ．设 a ∈ R，若关于 x 的不等式 f(x) ≥
x
2
+ a 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是
A.[ ? 2,2] B.[ ? 2 3,2] C.[ ? 2,2 3] D.[ ? 2 3,2 3]
2
8．已知函数 f(x),g(x)为定义在实数集上的函数，f(x)图像关于直线 x = 2 对称，g(x)图像关于点(2, ? 1)对称，且 f(x) + g(x) =
3x + x3 + 1，则 f(4) ? g(4)的值为
A.5320 B.5325 C.5330 D.5335
9．函数 f(x) = log1
2
1 + x2 ? 1
1?2|x|，则使得 f(x) ≤ f(2x ? 1)成立的 x 取值范围是（ ）
A. ( ? ∞,1] B. [ 1
3
, 1
2
)∪ ( 1
2
,1] C. 1
3
,1 D. ? ∞, 1
3
∪ [1, + ∞)
10．已知函数 f(x) =
(a ? 1)x + 4 ? 2a, x < 1
1 + log2x, x? 1
，若 f(x)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是( )
A.(1,2] B.(－∞，2]
C.(0,2] D.[2，＋∞)
11．已知函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. 0, 1
2
D. 1
2
,1
12．设函数 ? ?
, 1( )
2 , 1x
x x R
f x
x
? ?? ? ? ??
? ??
＝ 若对任意的 a R? ,都有 ? ?? ? ( )2 f af f a ＝ 成立，则λ的取值范围是( )
A．(0，2] B．[0，2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2)
二、填空题
13．已知 ( )y f x? 是奇函数， ( )y g x? 是偶函数，它们的定义域均为[ 3,3]? ，且它们在 [0,3]x? 上的图象如图所
示，则不等式
( ) 0
( )
f x
g x
? 的解集是__________．
14．已知函数 f(x)＝| 3log x |，实数 m，n 满足 0＜m＜n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在[m2，n]上的最大值为 2，则
n
m
＝
________.
3
15．已知 0x ? ， 0y ? ， 2 3x y? ? ，则
2 3x y
xy
?
的最小值为______．
16．已知 a R? ，函数 ? ?
2
2
2 2, 0
2 2 , 0
x x a x
f x
x x a x
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ??
，若对任意 ? ?3,x? ? ?? ， ? ?f x x? 恒成立，则 a的取值范
围是_____．
三、解答题
17．已知函数 f(x)＝
1 1
1 2xa
? ??? ??? ?
x3(a＞0，且 a≠1)．
（1）讨论 f(x)的奇偶性；
（2）求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立．
18．已知函数 f(x)＝ln
1
1
x
x
?
?
.
(1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)对于 x∈[2，6]，f(x)＝ln
1
1
x
x
?
?
＞ln
( 1)(7 )
m
x x? ?
恒成立，求实数 m 的取值范围．
4
19．已知函数 2( ) 2 ( 0)f x ax ax b a? ? ? ? 在区间[ 1,4]? 上有最大值 10 和最小值 1.设 ( )( ) f xg x
x
? .
（1）求 ,a b的值；
（2）证明：函数 ( )g x 在[ , )b ?? 上是增函数；
（3）若不等式 (2 ) 2 0x xg k? ? ? 在 [ 1,1]x? ? 上有解,求实数 k的取值范围.
20．已知函数 2( ) 1
ax bf x
x
?
?
?
是定义在 ( 1,1)? 上的奇函数，且
1 2
2 5
f ? ? ?? ?
? ?
.
（1）求函数 ( )f x 的解析式；
（2）判断函数 ( )f x 在 ( 1,1)? 上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于 t的不等式，
1 1 0
2 2
f t f t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
.
5
21．已知函数 ? ? ? ?2 1 1,f x ax a x a R? ? ? ? ?
? ?1 当 0a ? 时，求函数 ? ?y f x? 的定义域；
? ?2 若存在 0m ? 使关于 x的方程 ? ? 1f x m
m
? ? 有四个不同的实根，求实数 a的取值范围.
6
22．已知二次函数 ? ? ? ?2 ,f x ax bx c f x? ? ? 的图象与 y轴交于点 ? ?0, 2? ,图象关于 7
4
x ? 对称,且 ? ?1 3f ? .
（1）求 ? ?f x 的解析式;
（2）若函数 ? ? ? ?27 lnf x x x k x? ?? ? ?? ? 为奇函数,求 k的值;
（3）是否存在实数 , (0 )m n m n? ? ,使 ? ?f x 的定义域与值域分别是 ? ? 3 3, , ,m n
n m
? ?
? ?? ?
,若存在,求出 ,m n的值；若不存
在,请说明理由.
7
高一（上）基本初等函数拔高部分（20190915）
1.（2019 年全国高中数学联赛 A卷一试 1.）
2.（2019 年全国高中数学联赛 A卷一试 2.）
D
4.（2018 年全国高中数学联赛 A 卷一试 5.）
设 )(xf 是定义在 R上的以 2为周期的偶函数，在区间 ? ?1,0 上严格递减，且满足 1)( ??f ， 2)2( ??f ，则不等式
组
?
?
?
??
??
2)(1
21
xf
x
的解集为
◆答案： ? ??? 28,2 ??
★解析：由 )(xf 为偶函数及在区间 ? ?1,0 上严格递减知， )(xf 在 ? ?0,1? 上递增，结合周期性知， )(xf 在 ? ?2,1 上递
增，又 1)()2( ??? ?? ff ， 2)2()2()28( ????? ??? fff ，
所以不等式等价于 )28()()2( ?? ???? fxff ，又 22821 ????? ??
所以 ?? 282 ???? x ，即不等式的解集为 ? ??? 28,2 ??
8
5.（2019 年全国高中数学联赛 A卷一试 5.）
6.
7.
3＜k
8.
3
9.（2016 年全国高中数学联赛 B 卷一试 4.）
已知 )(xf , )(xg 均为定义在 R上的函数， )(xf 的图像关于直线 1?x 对称， )(xg 的图像关于点 )2,1( ? 中心对称，
且 19)()( 3 ???? xxgxf x ，则 )2()2( gf 的值为
◆答案： 2016
★解析：由条件知 ? ? ? ?0 0 2,f g? ? ① ? ? ? ?2 2 81 8 1 90.f g? ? ? ? ? ②
由 ? ? ? ?,f x g x 图像的对称性，可得 ? ? ? ? ? ? ? ?0 2 , 0 2 4,f f g g? ? ? ? 结合①知，
? ? ? ? ? ? ? ?2 2 4 0 0 2.f g f g? ? ? ? ? ③
由②、③解得 ? ? ? ?2 48, 2 42,f g? ? 从而 ? ? ? ?2 2 48 42 2016.f g ? ? ?
9
参考答案
1．C
∵函数 y = f x 是定义在 R 上的奇函数，则 f ? x =? f x ，
∵ f 1 + x = f 1 ? x ，∴ f x + 1 =? f x ? 1 ，
∴ f x + 4 =? f x + 2 = f x ，所以函数 y = f x 为周期函数，且周期为 4，
f 1 = 2，f 2 = f 2 ? 4 = f ? 2 =? f 2 ，则 f 2 = 0，
f 3 = f 3 ? 4 = f ? 1 =? f 1 =? 2，f 4 = f 4 ? 4 = f 0 = 0，
∴ f 1 + f 2 + f 3 + ? + f 50 = 12 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 1 + f 2 = 12 × 2 + 0 ? 2 + 0 + 2 + 0 = 2，故选：C.
2．B
∵函数 y = f x 为偶函数，则 f x = f x ，
由 f 2x ? 1 > f x ? 2 ，得 f 2x ? 1 > f x ? 2 ，
∵函数 y = f x 在 0, + ∞ 上单调递增，∴ 2x ? 1 > x ? 2 ，即 2x ? 1 2 > x ? 2 2，
化简得x2 ? 1 > 0，解得 x 1，
因此，不等式 f 2x ? 1 > f x ? 2 的解集为 ? ∞, ? 1 ∪ 1, + ∞ ，故选：B.
3．C
由已知该函数具有性质 f x + 1 = 1
2
f x ，将此运用到四个选项中：
对于 A 选项，f x + 1 = x+1
2
，
1
2
f x = x
4
，不符合题意，故 A 选项错误；
对于 B 选项，f x + 1 = x + 3
2
，
1
2
f x = 1
2
x + 1
4
，不符合题意，故 B 选项错误；
对于 C 选项，f x + 1 = 2? x+1 = 2?x?1 = 1
2
× 2?x = 1
2
f x ，符合题意，故 C 选项正确；
对于 D选项，f x + 1 = log1
2
x + 1 ，
1
2
f x = 1
2
log1
2
x = log1
2
x，不符合题意，故 D选项错误．故选：C.
4．B
当 m = 2 时，f(x) = (n ? 8)x＋1 在区间
1
2
,2 上单调递减，
则 n ? 8 < 0 ? n < 8，于是 mn < 16，
则 mn 无最大值．
当 m ∈ [0,2)时，f(x)的图象开口向下，
要使 f(x)在区间 1
2
,2 上单调递减，需? n?8
m?2
≤ 1
2
，即 2n + m ≤ 18
又 n ≥ 0 则 mn ≤ m 9 ? m
2
=? 1
2
m2 + 9m
而 g(m) =? 1
2
m2 + 9m 在[0,2)上为增函数，
10
∴ m ∈ [0,2)时，g(m) < g(2) = 16，故 m ∈ [0,2)时，mn 无最大值．
当 m > 2 时，f(x)的图象开口向上，要使 f(x)在区间 1
2
,2 上单调递减，
则? n?8
m?2
≥ 2，即 2m + n ≤ 12，
而 2m + n ≥ 2 2mn，所以 mn ≤ 18，
当且仅当
2m + n = 12
2m = n ，即
m = 3
n = 6 时，取“
=”，此时满足 m > 2，
故 mn 的最大值为 18.选 B.
5．B
由于函数 f(x)＝x2－2tx＋1 的图象的对称轴为 x＝t，
且函数 f(x)＝x2－2tx＋1 在区间(－∞，1]上单调递减，
所以 t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，0距对称轴 x＝t 最远，故要使对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只要 f(0)－f(t)≤2 即可，即 1－(t2－2t2＋1)≤2，
求得－ 2≤t≤ 2.
再结合 t≥1，可得 1≤t≤ 2.
故选 B..
6．B
由题意当 y = f x ? g x = 2 f x ? 1 = 0 时,即方程 f x = 1 有 4 个解.
又由函数 y = a ? x + 1 与函数 y = x ? a 2的大致形状可知,
直线 y = 1 与函数 f x =
a ? |x + 1|,x ≤ 1
(x ? a)2,x > 1
的左右两支曲线都有两个交点，
当 x ≤ 1 时,函数 f x 的最大值为 a,则 a>1,同时在[-1,1]上 f x = a ? |x + 1|的最小值为 f 1 = a ? 2,
当 a>1 时,在(1,a]上最大值为 f 1 = 1 ? a 2，
要使 y = f x ? g x 恰有 4 个零点,则满足
a > 1
a ? 2 ≤ 1
(1 ? a)2 > 1
,即
a > 1
a ≤ 3
a > 2 或 a < 0
.
解得 211
7．A
8．B
因为 f(x)图象关于直线 x = 2 对称对称，所以 f(x) = f(4 ? x)，
因为 g(x)图象关于点(2, ? 1)对称，所以 g(x) + g(4 ? x) =? 2，
因为 f(x) + g(x) = 3x + x3 + 1，
所以 f(4 ? x) + g(4 ? x) = 34?x + (4 ? x)3 + 1，
即 f(x) ? 2 ? g(x) = 34?x + (4 ? x)3 + 1
因此 f(x) = 3
x+x3+1+34?x+(4?x)2+3
2
，g(x) = 3
x+x3+1?34?x?(4?x)2?3
2
，
所以 f(4) = 75，g(4) = 71，f(4)g(4) = 5325.
9．B
由题意知函数的定义域为( ? ∞,0)∪ (0, + ∞)，
当 x > 0 时，f(x) = log1
2
1 + x2 ? 1
1?2x，
∴f(x)在(0, + ∞)上单调递减，
∵f( ? x) = log1
2
[1 + ( ? x)2] ? 1
1?2 ?x
= log1
2
(1 + x2) ? 1
1?2 x
= f(x)
∴f(x)是偶函数，∴f(x)在( ? ∞,0)上单调递增．∵f(x) ≤ f(2x ? 1)，∴|x| ≥ |2x ? 1| ≠ 0，
两边平方后化简得 3x2 ? 4x + 1 ≤ 0 且 x ≠ 1
2
且 x ≠ 0，解得1
3
≤ x < 1
2
或
1
2
< x ≤ 1，
故使不等式成立 x 的取值范围是[ 1
3
, 1
2
)∪ ( 1
2
,1]．故本题选 B．
10．A
当 x≥1 时，f x ＝1＋log2x ≥ 1；当 x＜1 时，f(x) = (a ? 1)x + 4 ? 2a必须是增函数，
且值域区间的右端点的值大于或等于 1，才能满足 f(x)的值域为 R，可得
a ? 1 > 0
a ? 1 + 4 ? 2a? 1，解得 a∈(1,2]．
11．A
函数 f(x) = e?x = 1
e
x
在( ? ∞,0]上为减函数，函数 y =? x2 ? 2x + 1 的图像开口向下，对称轴为 x =? 1，
所以函数 f x =? x2 ? 2x + 1 在区间(0, + ∞)上为减函数，且e?0 =? 02 ? 2 × 0 + 1.
所以函数 f x 在( ? ∞, + ∞)上为减函数. 由 f(a ? 1) ≥ f( ? a)得 a ? 1 ≤? a.解得 a ≤ 1
2
.故选 A.
12．C
当 a≥1 时， 2 2a ? ，所以 ? ?? ? ? ? 2 ( )2 2 2aa f af f a f＝ ＝ ＝ 恒成立．
当 a<1 时， ? ?? ? ( 2) af f a f a ?? -＝ - ＝ ，所以λ－a≥1，则λ≥a＋1，
由题意知 1( )maxa? ? + ，所以λ ≥2.
12
综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．
13．{ | 2 1 0 1 2 3}x x x x? ? ? ? ? ? ? ?或 或
由题意，根据图像得当0 1x? ? 或 2 3x? ? 时， ? ? ? ?,f x g x 异号；
当1 2x? ? 时， ? ? ? ?,f x g x 同号；
由 ( )y f x? 是奇函数， ? ?y g x? 是偶函数，得当 2 1x? ? ? ? 时， ? ? ? ?,f x g x 异号；
因此不等式
( ) 0
( )
f x
g x
? 的解集是{ | 2 1 0 1 2 3}x x x x? ? ? ? ? ? ? ?或 或 .
14．9.
因为 f(x)＝|log3x|＝
3
3
log , 0 1
log , 1
x x
x x
? ? ??
? ??
,
所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由 0＜m＜n 且 f(m)＝f(n)，可得
3 3
0 1
1
log log
m
n
n m
? ??
? ??
? ? ??
,
则
0 1
1
1
m
n
mn
? ??
? ??
? ??
,所以 0＜m2＜m＜1，
则 f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，
所以 f(m2)＞f(m)＝f(n)，则 f(x)在[m2，n]上的最大值为 f(m2)＝－log3m2＝2，
解得 m＝
1
3
，则 n＝3，所以
n
m
＝9.
故答案为：9
15． 2 2 1?
由 2 3x y? ? 得： 3 2x y? ? ，由 0x ? 得：3 2 0y? ? 30
2
y? ? ?
? ?
? ?
? ?2 22 2
2 2 2
2 3 2 3 93 2 33 4 9 9 3 92
3 2 3 2 3 2 2 3
y y yy yx y y y y
xy y y y y y y y y
? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
令3 9y t? ? ，由 30
2
y? ? 得： 99 3 9
2
y? ? ? ? ? ，即
99,
2
t ? ?? ? ?? ?
? ?
9
3
ty ?? ?
2
2 2
3 9 92 2 2 812 27 819 9 2 272 3
3 3
x y t t
xy t tt t t
t
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?
? ?
?
13
当
99,
2
t ? ?? ? ?? ?
? ?
时，
81 81 812 2 2 2 18 2t t t
t t t
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
当且仅当
812t
t
? ? ? ，即 9 2
2
t ? ? 时取等号
812 27 27 18 2t
t
? ? ? ? ?
9 92 2 2 2 181 27 18 22 27t
t
?? ? ? ? ? ? ?
?? ?
即
2 3 2 2 1x y
xy
?
? ?
2
min
3 2 2 1x y
xy
? ??
? ? ?? ?
? ?
本题正确结果： 2 2 1?
16．
1 ,2
8
? ?
? ?? ?
当 0x ? 时，函数 ? ? 2 2 2f x x x a? ? ? ? 的图象开口向上，对称轴为直线 1x ? ? .
要使得 0x ? 时，对任意 ? ?3,x? ? ?? ， ? ?f x x? 恒成立，
则只需 ? ?3 3 3f ? ? ? ? ，即9 6 2 3a? ? ? ? ，解得 2a ? .
当 0x ? 时，要使 ? ?f x x? 恒成立，即 ? ? 2 2 2f x x x a? ? ? ? ，在射线 y x? 的下方或在
y x? 上，由 2 2 2x x a x? ? ? ? ，即 2 2 0x x a? ? ? ， 1 8 0a? ? ? ? ，解得
1
8
a ? .
综上所述：实数 a的取值范围是
1 ,2
8
? ?
? ?? ?
，故答案为：
1 ,2
8
? ?
? ?? ?
.
17．（1）函数 f(x)是偶函数（2） a∈(1，＋∞)
（1）由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，
14
∴函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意 x，有
f(－x)＝
1 1
1 2xa?
? ??? ??? ?
(－x)3
＝
1
1 2
x
x
a
a
? ?
?? ??? ?
(－x)3
＝
1 11
1 2xa
? ?? ? ?? ??? ?
(－x)3
＝
1 1
1 2xa
? ??? ??? ?
x3＝f(x)，
∴函数 f(x)是偶函数．
（2）由（1）知 f(x)为偶函数，∴只需讨论 x＞0 时的情况，当 x＞0 时，要使 f(x)＞0，
则
1 1
1 2xa
? ??? ??? ?
x3＞0，即
1
1xa ?
＋
1
2
＞0，即 ? ?
1
2 1
x
x
a
a
?
?
＞0，则 ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.
∴当 a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
18．(1) (－∞，－1)∪(1，＋∞)，奇函数．(2) 0＜m＜7.
(1)由
1
1
x
x
?
?
＞0，解得 x＜－1 或 x＞1，
所以函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln
1
1
x
x
? ?
? ?
＝ln
1
1
x
x
?
?
＝ln
11
1
x
x
??? ?
? ??? ?
＝－ln
1
1
x
x
?
?
＝－f(x)，
所以 f(x)＝ln
1
1
x
x
?
?
是奇函数．
(2)由于 x∈[2，6]时，
f(x)＝ln
1
1
x
x
?
?
＞ln
( 1)(7 )
m
x x? ?
恒成立，
所以
1
1
x
x
?
?
＞
( 1)(7 )
m
x x? ?
＞0，
因为 x∈[2，6]，所以 0＜m＜(x＋1)(7－x)在 x∈[2，6]上恒成立．
令 g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数 g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数 g(x)单调递减，
即 x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，
15
所以 0＜m＜7.
19．（1）
1
2
a
b
??
? ??
；（2）证明见试题解析；（3） ( ,5]?? .
解:(1) 2( ) ( 1) (a 0)f x a x a b? ? ? ? ?
因为 a 0? ,故
(1) 1
(4) 10
f
f
??
? ??
,解得
1
2
a
b
??
? ??
(2)由已知可得
2( ) 2g x x
x
? ? ? ,
设 1 22 x x? ? ,
? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
221
x x x x
g x g x x x
x x x x
? ?? ?
? ? ? ? ?? ?
? ?
?
1 2 1 2 1 22 0 2x x x x x x? ? ? ? ? ??
即 1 2 2 0x x ? ? .
? ? ? ?1 2 0g x g x? ? ? ,即 ? ? ? ?1 2g x g x? .
所以函数 ( )g x 在[ 2, )?? 上是增函数
(3) ? ?2 2 0x xg k? ? ? 可化为 22 2 2
2
x x
x k? ? ? ?
化为
21 11 2 2
2 2x x
k? ?? ? ? ?? ?
? ?
,
令
1
2x
t ? ,则 22 2 1k t t? ? ?
因 [ 1,1]x? ? ,故
1 ,2
2
t ? ?? ? ?? ?
,
记 2( ) 2 2 1h t t t? ? ? ,因为
1 ,2
2
t ? ?? ? ?? ?
,故 max( ) 5h t ?
所以 k 的取值范围是 ( ,5]??
20．（1） 2( ) 1
xf x
x
=
+
；（2） ? ?f x 在 ( 1,1)? 上是增函数，证明见解析；（3） 1 0
2
t? ? ? .
（1） (0) 0 0f b? ? ? ， 2
1 2 1 ( )
2 5 1
xf a f x
x
? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?
；
（2）任取 1 21 1x x? ? ? ? ，
16
? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
1 2 1 22 2
1 2
1
0
1 1
x x x x
f x f x f x f x
x x
? ?
? ? ? ? ?
? ?
所以函数 ? ?f x 在 ( 1,1)? 上是增函数；
（3）
1 1 1 1
2 2 2 2
f t f t f t f t? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
1 1
02 2
1 3 1 11 1 0
2 2 2 2
1 1 31 1
2 2 2
t t t
t t t
t t
? ?? ? ?? ? ?
? ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?
? ?
? ?? ? ? ? ? ? ?? ???
.
21．（1）见解析；（2） 3 2a ? ? ? .
（1）由题意， ? ? ? ?2 1 1 0f x ax a x? ? ? ? ? ，即 ? ? ? ?1 1 0ax x? ? ? ，
解方程 ? ?? ?1 1 0ax x? ? ? ，得 1
1x
a
? ， 2 1x ? .
①当
1 1
a
? 时，即当0 1a? ? 时，解不等式 ? ? ? ?1 1 0ax x? ? ? ，得 1x ? 或 1x
a
? ，
此时，函数 ? ?y f x? 的定义域为 1 1x x xa
? ?? ?? ?
? ?
或 ；
②当
1 1
a
? 时，即当 1a ? 时，解不等式 ? ?21 0x ? ? ，得 x?R ，
此时，函数 ? ?y f x? 的定义域为 R；
③当
1 1
a
? 时，即当 1a ? 时，解不等式 ? ? ? ?1 1 0ax x? ? ? ，解得 1x
a
? 或 1x ? ，
此时，函数 ? ?y f x? 的定义域为 11x x x a
? ?? ?? ?
? ?
或 ；
（2）令
1 2t m
m
? ? ? ，
则关于 x的方程 ? ?f x t? 有四个不同的实根可化为 ? ?2 1 1 0a x a x t? ? ? ? ? ，
即 ? ?2 1 1 0ax a x t? ? ? ? ? 有两个不同的正根，则
? ? ? ?21 4 1 0
1 0
1 0
a a t
a
a
t
a
?
?? ? ? ? ? ?
? ?? ??
?
?? ???
，
解得 3 2a ? ? ? .
17
22．（1） ? ? 22 7 2f x x x? ? ? ? ；（2）1；（3）存在 8 , 3
11
m n? ? ，使 ? ?f x 的定义域与值域分别是 8 33,3 1,
11 8
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
， .
（1） ?? ? ?f x 的图象与 y轴交于点 ? ?0, 2? ，∴ 2c ? ? ,
?图象关于
7
4
x ? 对称，∴ 7
2 4
b
a
? ? ，
由 ? ?1 3f ? 得 3a b c? ? ? ，解得 2, 7a b? ? ? ，
∴ ? ? 22 7 2f x x x? ? ? ? .
（2）若 ? ? ? ?27 lnf x x x k x? ?? ? ?? ? 是奇函数,则 ? ?2ln x k x? ? 是奇函数,
∴ ? ?2ln x k x? ? ? ? ?2ln 0x k x? ? ? ?
解得 1k ? .
（3）存在
8 , 3
11
m n? ? ，使 ? ?f x 的定义域与值域分别是 8 33,3 1,
11 8
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
， .
? ?
27 332
4 8
f x x? ?? ? ? ?? ?
? ?
,对称轴为
7
4
x ? ，
①
7
4
m n? ? ?
? ?
? ?
3
3
f m
m
f n
n
? ???
?
? ?
??
,
,m n是方程 2 32 7 2x x
x
? ? ? ? 的其中两根,
3 22 7 2 3 0x x x? ? ? ? , 1x? ? 或3或
1
2
? ,即 1, 3m n? ? ,不满足 7
4
m n? ? .
②
7
4
m n? ? , ? ?max
7 33 3
4 8
f x f
m
? ?? ? ?? ?
? ?
,
8
11
m? ? ,
? ? ? ?min
8
11
f x f m f ? ?? ? ? ?
? ?
或 ? ? 3f n
n
? ,
（i）
8 246 3
11 121
f
n
? ? ? ?? ?
? ?
,∴
121 7
82 4
n ? ? (舍去)；
（ii） ? ? 3f n
n
? ,∴ 3n ? .
③若
7
4
m n? ? ,
? ?
? ?
2
2
32 7 2 ( )
32 7 2 ( )
f m m m a
n
f n n n b
m
? ? ? ? ? ???
?
? ? ? ? ? ?
??
,
18
( ) ( )a b? ? ? ? ? ? ?2 2 32 7 m nm n m n mn
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 7m n
mn
? ? ? ? ,
( ) ( )a b? ? ? ? ? ? ?2 2 32 7 4 m nm n m n mn
?
? ? ? ? ? ? ? ? 1mn ? .
∵ 2m n? ? ,∴ 1m n? ? (舍去),
故存在
8 , 3
11
m n? ? ，使 ? ?f x 的定义域与值域分别是 8 33,3 1,
11 8
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
， .