高一（上）基本初等函数复习（三）（老师）

1
高一（上）基本初等函数综合复习（三）（20190922）
一、选择题
1．已知非空集合 A B、 ， ? ?2 21
5
log 2 3 2 9A x x x x x
? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
， A B? ，则集合 B可以是（ ）
A． ? ? ? ?1,0 4,6? ? B． ? ? ? ?2, 1 3,4? ? ? C． ? ?3,3? D． ? ? ? ?3, 1 4,6? ? ?
2．设集合 ，集合 .若 中恰含有一个整数，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
3．若函数 ? ? 2 3 4f x x x? ? ? 的定义域为? ?0,m ，值域为 25 , 4
4
? ?? ?? ?? ?
，则m的取值范围是（ ）
A．
3 ,4
2
? ?
? ?? ?
B．
3 ,3
2
? ?
? ?? ?
C．? ?0,4 D． 3 ,
2
? ???? ?? ?
4．已知函数
2 , 1
( )
1, 1
x ax x
f x
ax x
?? ? ?
? ?
? ??
，若 1x? 、 2 Rx ? ， 1 2x x? ，使得 1 2( ) ( )f x f x? 成立，则 a的取值范围是（ ）．
A． 2a ? B． 2a ? C． 2 2a? ? ? D． 2a ? ? 或 2a ?
5．已知函数 ( ) x a x af x e e? ? ?? ? ，若 33 log
a b c? ? ，则（ ）
A． ( ) ( ) ( )f a f b f c? ? B． ( ) ( ) ( )f b f c f a? ?
C． ( ) ( ) ( )f a f c f b? ? D． ( ) ( ) ( )f c f b f a? ?
2
6．已知奇函数 ? ?f x 满足 ? ? ? ?1 1f x f x? ? ? ，若当 ? ?1,1x? ? 时， ? ? 1lg
1
xf x
x
?
?
?
，且 ? ?2018 1f a? ? ，则实
数 a的值可以是（ ）
A．
9
11
B．
11
9
C．
9
11
? D．
11
9
?
7．已知函数 ? ? 2 2 3 ,f x x x? ? ? 若 1a b? ? ，且 ? ? ? ?f a f b? ，则3a b? 的最小值为（ ）
A．3 2 10? B． 4? C． 4 4 5? D． 5?
8．已知 m > 0，n > 0，log4m = log8n = log16(2m + n)，则log2 m ? log4n =（ ）
A．-2 B．2 C．? 1
2
D．1
2
9．若 a = π?2,b = aa,c = aaa，则 a,b,c 的大小关系为（ ）
A．c > b > a B．b > c > a C．b > a > c D．a > b > c
10．已知函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1）在区间[1,2]的最大值与最小值之和为 6，若函数 f(x)=ax+logax + b 在区间（1,2）
上有零点，则实数 b的取值范围为
A．（ ? ∞， ? 5） B．(-5,-2) C．（2，5） D．（2, + ∞）
11．已知函数 f(x) =
log1
2
x ,x > 0
x2 + 2x + 2,x ≤ 0
，函数 F(x) = f(x) ? b 有四个不同的零点x1,x2,x3,x4，且满足：x1 < x2 < x3 < x4， 则
x4
x3
? x1x3
2+x2x32
2
的取值范围是（ ）
A．(2, + ∞) B．( 17
4
, 257
16
] C．[2, 17
4
) D．[2, + ∞)
3
12．已知函数 ? ?
2
1 , 0,
1
1, >0,
x
f x x
x x
? ??? ??
? ??
若关于 x的方程 ? ? ? ? 1 1f x a f x a? ? ? ? ? 有且仅有两个不同的整数解，则
实数 a的取值范围是（ ）
A．
3 4,
2 3
? ?? ? ??? ?
B．
1 1,
2 3
? ?? ? ??? ?
C．
11,
2
? ?? ?? ?? ?
D．? ?0,3
二、填空题
13．已知 a R? ，函数
4( )f x x a a
x
? ? ? ? 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 a的取值范围是______．
14．已知函数 f(x) = lg( ? x2 + ax)在区间 1, 3
2
上单调递减，则实数 a 的取值范围是______
15．设 ( ) 3f x x t? ? ? ? ，若存在实数 , ( )m n m n? ，使得 ( )f x 的定义域和值域都是[ , ]m n ，则实数 t的取值范围
为_______.
16．已知不等式 20
n
? m ln m
n
≥ 0 对任意正整数 n恒成立，则实数 m取值范围是__________．
4
三、解答题
17．已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足：① 对任意 x，y?R ，有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ? .②当 0x ? 时， ( ) 0f x ?
且 (1) 3f ? ? .
（1）求证： (0) 0f ? ；
（2）判断函数 ( )f x 的奇偶性；
（3）解不等式 (2 2) ( ) 12f x f x? ? ?≥ .
18．已知函数 2 3f x x x? ?（ ） ．
（1）对任意 0x R f x m? ? ?，（ ） 恒成立，求实数m的取值范围：
（2）函数 ( )g x kx k? ? ，设函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x? ? ，若函数 ( )y F x? 有且只有两个零点，求实数 k的取值范围．
5
19．已知函数 f(x) = x + 2a
x
? 1，（a为常数）.
（1）当 a=1 时，判断 f(x)在( ? ∞,0)的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意 x ∈ R，不等式 f(2x) > 0 恒成立，求 a的取值范围；
（3）讨论 f(x)零点的个数.
6
20．已知函数 ( )f x x x a x? ? ? ，a R? ．
（1）若 0a ? ，判断函数 ( )y f x? 的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数 ( )f x 在 R上是增函数，求实数 a的取值范围；
（3）若存在实数 [ 2,3]? ?a ，使得关于 x的方程 ( ) ( ) 0f x tf a? ? 有三个不相等的实数根，求实数 t的取值范围．
7
21．设函数 ? ? ? ?log 0 1af x x a? ? ? .
（I）若 2( ) (2)f x x f? ? ，求 x的取值范围；
（II）记 ( )f x 的反函数为 ? ?g x ,若 ? ?1 0a k g x? ? ? ? 在? ?2,?? 上恒成立，求 k的最小值.
8
22．已知函数 f(x) = 2x
2+2x+1
x
．
(1)用定义证明：函数 f(x)在[ 2
2
, + ∞)上单调递增；
b ∈ [4,2 + 13]及任意的 m ∈ [ 1
2
,2]恒成立？若存在，求出 t 的取值范围；若不存在说明理由．
9
参考答案
1．B
【解析】 ? ?2 21
5
{ log 2 3 2 9}A x x x x x? ? ? ? ? ? ，首先 2 2 3 0x x? ? ? ，有 1x ? ? 或 3x ? ，排除 A、C，由于不
等 式 ? ?2 21
5
log 2 3 2 9x x x x? ? ? ? ? 不 宜 解 答 ， 所 以 采 用 排 除 法 ， 取 5x ? 进 行 检 验 ，
? ?21 1 5
5 5
log 2 3 log 12 log 12 0x x? ? ? ? ? ? ，而 2 2 9 6 0x x? ? ? ? ，不符合不等式的要求，排除 D，选 B.
【点睛】解答选择题的方法很多，主要有直接法，特值特例法、排除法，极限法等，有时利用直接法很费力的时候，
不妨使用排除法，有时会出现意想不到的效果，但排除法最适宜求范围的问题，因为特值特例反验证还是比较方便
使用并受人欢迎的方法.
2．B
A={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x＞1或 x＜﹣3}，
设 f（x）=x2﹣2ax﹣1，则 f（0）=﹣1＜0，对称轴 x=a>0，
∴要使 A∩B 中恰含有一个整数，
∴f（2） ≤ 0且 f 3 > 0，
即 4 ? 4a ? 1 ≤ 0,且 9 ? 6a ? 1 > 0，∴，即3
4
≤ a < 4
3
，
∴实数 a的取值范围是3
4
≤ a < 4
3
．故选：B
点睛： A∩B中恰含有一个整数等价于函数 f（x）=x2﹣2ax﹣1 在 2,3 上有唯一的零点，结合图象问题
转化为解不等式组的问题.
3．B
【解析】 ? ? 2 3 4f x x x? ? ? 图象开口向上，对称轴为 3
2
x ? ， ? ? ? ?3 25 , 0 4, 3 4
2 4
f f f? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
，又?所给
值域中包括最小值， m? 的取值范围是 3 ,3
2
? ?
? ?? ?
，故选 B.
4．B
对 a的范围分类讨论，当 2a ? 时，函数 ( )f x 在 ,
2
a? ???? ?
? ?
上递增，在 ,1
2
a? ?
? ?
? ?
上递减，即可判断： 1x? 、 2 Rx ? ， 1 2x x? ，
10
使得 1 2( ) ( )f x f x? 成立. 当 2a ? 时，函数 ( )f x 在R上单调递增，即可判断：一定不存在 1x 、 2 Rx ? ， 1 2x x? ，
使得 1 2( ) ( )f x f x? 成立，问题得解.
当 2a ? 时， 1
2
a
? ，函数 ( )f x 在 ,
2
a? ???? ?
? ?
上递增，在 ,1
2
a? ?
? ?
? ?
上递减，
则： 1x? 、 2 Rx ? ， 1 2x x? ，使得 1 2( ) ( )f x f x? 成立.
当 2a ? 时， 1
2
a
? ，函数 ( )f x 在 ? ?,1?? 上递增，在 ? ?1,?? 也递增，
又 21 1 1 1a a? ? ? ? ? ? ，所以函数 ( )f x 在 R上单调递增，
此时一定不存在 1x 、 2 Rx ? ， 1 2x x? ，使得 1 2( ) ( )f x f x? 成立.故选：B
【点睛】
本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。
5．C
由题，先求得函数 ( )f x 在 ( , )a ?? 上单调递增，再由 33 log
a b c? ? 判断出 a由题意可得： ( ) 0x a x af x e e? ? ?? ? ? ?
可知 ( )f x 在 ( , )a ?? 上单调递增；
作出 y=c与 33 , log ,
xy y x y x? ? ? 的图象，
33 log
a b c? ?? ，可得 a故选:C.
本题考查了函数的性质，利用函数的图像判断大小和熟悉对勾函数的性质是解题的关键，属于中档题.
6．A
根据奇函数 ? ?f x 满足 ? ? ? ?1 1f x f x? ? ? 可知函数周期 4T ? ，因此 ? ?2018 ( ) 1f a f a? ? ? ，当 ? ?1,1x? ? 时，
令 ? ? 1lg =1
1
xf x
x
?
?
?
，可得
9
11
x ? ，故可得 a的可能取值.
由 ? ? ? ?1 1f x f x? ? ? 可得 ? ? ? ?2f x f x? ? ，因为 ? ?f x 为奇函数，
所以 ? ? ? ?2 ( )f x f x f x? ? ? ? ? ，故 ? ? ? ?4f x f x? ? ，函数周期为 4T ? ，
11
所以 ? ?2018 (2 ) ( ) 1f a f a f a? ? ? ? ? ，
当 ? ?1,1x? ? 时，令 ? ? 1lg =1
1
xf x
x
?
?
?
，可得
9
11
x ? ，所以 9
11
a ? 可以，即 9
11
a ? ，故选 A.
本题主要考查了函数的奇偶性、周期性，属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆：
若
1( ) ( ), ( )
( )
f x f x a f x
f x a
? ? ? ? ?
?
可知函数的周期 2T a? ，
若 ? ? ? ?1f x a f a? ? ? ，可知函数对称轴 x a? .
7．C
【解析】设 ? ? 2 2 3g x x x? ? ? ，由二次函数对称轴方程为 1x ? ，又 1a b? ? 且 ? ? ? ?f a f b? 知， ? ? ? ?g a g b? ? ，
且 1, 1 1a b? ? ? ? ? ，化简得： ? ? ? ?2 21 1 8, 1, 1 1a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ?,a b 的轨迹是圆上的一个部分，
（黑色部分），设 3u a b? ? 得 3b a u? ? ? ，
平移 3b a u? ? ? ，当直线 3b a u? ? ? 和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u最小，此时圆心 ? ?1,1 到
直线3 0a b u? ? ? 的距离
3 1 4
2 2
9 1 10
u u
d
? ? ?
? ? ?
?
，
即 4 =4 5u ? ，得 4 4 5u ? ? 或 4 4 5u ? ? （舍），所以最小值 4 4 5?
【点评】本题考查带绝对值的函数，作出函数 f（x）结合已知求得 ? ? ? ?2 21 1 8, 1, 1 1a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．渗透化归思想与数形结合思想，综合
性较强，有一定的难度．
8．C
【解析】分析：由题意首先求得 m,n 的关系，然后结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意，设log4m = log8n = log16 2m + n = k，
则 m = 4k，n = 8k，2m + n = 16k，据此有：2 × 4k + 8k = 16k，
12
则：2 × 1
4
k
+ 1
2
k
= 1，即 2 × 1
2
k 2
+ 1
2
k
? 1 = 0，
据此可得：
1
2
k
= 1
2
或
1
2
k
=? 1，
其中：
m
n
= 4
k
8k
= 1
2
k
> 0，据此可得：m
n
= 1
2
，
则log2 m ? log4n = log2 m ? log2 n = log2
m
n
= log2
1
2
=? 1
2
.本题选择 C 选项.
点睛：本题主要考查对数的运算性质，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．B
【解析】分析：首先确定 a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可知：a = π?2 = 1
π2
∈ 0,1 ，即 a < 1
函数 f x = ax单调递减，则aa > a1，即aa > a，
由于aa > a，结合函数的单调性可得：aaa < aa，即 b > c，
由于 0 < a < 1，故aa < 1，结合函数的单调性可得：aaa > a1，即 c > a，
综上可得：a,b,c 的大小关系为 b > c > a .
本题选择 B 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，
不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．
在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判
断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
10．B
【解析】由题知a2 + a = 6，解得 a = 2 或 a =? 3（舍），所以 f(x) = 2x + log2x + b，由指数函数与对数函数的性质知，f(x)
是增函数，要使函数 f(x)在区间（1,2）上有零点，则 f(1)=2+b < 0 且 f(2) = 22 + 1 + b > 0，解得? 5 < b 11．B
【解析】分析：函数 F(x) = f(x) ? b 有四个不同的零点，等价于 y = f(x)的图象与 y = b 的图象有四个不同的交点，画
出 y = f(x)的图象与 y = b 的图象，结合函数图像，可得x1 + x2 =? 2, x3x4 = 1，
x4
x3
?
(x1+x2)x3
2
2
=x4
x3
+ x3
2 = 1
x3
2 + x3
2，利用单调性
求解即可.
详解：
13
f(x) =
|log1
2
x|,x > 0
x2 + 2x + 2,x ≤ 0
=
|log1
2
x|,x > 0
(x + 1)
2,x ≤ 0
,
由二次函数的对称性可得x1 + x2 =? 2,
由log1
2
x3 = ? log1
2
x4 可得x3x4 = 1，
函数 F(x) = f(x) ? b 有四个不同的零点，
等价于 y = f(x)的图象与 y = b 的图象有四个不同的交点，
画出 y = f(x)的图象与 y = b 的图象，由图可得 1 < b ≤ 2，
∴1 < log1
2
x3 ≤ 2 ? x3 ∈ [
1
4
, 1
2
)
∴
x4
x3
?
(x1+x2)x3
2
2
=x4
x3
+ x3
2 = 1
x3
2 + x3
2
令 t = x3
2 ∈ [ 1
16
, 1
4
) ， ∴1
t
+ t ∈ ( 17
4
, 257
16
]，故选 B.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对
应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地
揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：
1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
12．A
关于 x的方程 ? ? ? ? 1 1f x a f x a? ? ? ? ? 有且仅有两个不同的整数解,等价于 ? ?y f x? 图象夹在 y a? 与
1y a? ? 之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，画出函数图象，利用数形结合可得结果.
【详解】
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 1f x a f x a f x a f x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ,
当且仅当 ? ? 1a f x a? ? ? 时， ? ? ? ? 1 1f x a f x a? ? ? ? ? ，
?方程有且仅有两个不同的整数解等价于，
? ? 1a f x a? ? ? 有两个不同的整数解，
即 ? ?y f x? 图象夹在 y a? 与 1y a? ? 之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，
14
画出 ? ?y f x? 的图象，如图，
? ? ? ?1 11 , 2
2 3
f f? ? ? ? ? ? ?? ，
由图象可知，当
1 11
2 3
a? ? ? ? ? 时，即 3 4
2 3
a? ? ? ? 时，
? ?y f x? 图象夹在 y a? 与 1y a? ? 之间的部分有且仅有两个点的横坐标 0， 1? 为整数，
所以 a的取值范围是
3 4,
2 3
? ?? ? ??? ?
，故选 A.
本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了绝对值三角不等式的应用以及转化思想与数形结合思想的应用，属于
难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归
纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；
4、研究函数性质．
13．
9( , ]
2
??
先分析对勾函数
4y x
x
? ? 在[1, 4]上的值域，然后根据对勾函数值域对 a进行分类讨论，分别考虑每一类 a的取值
对应的函数的最大值等于5的情况，最后求出 a的范围.
【详解】
①当 5a ? 时， ? ? 4 42f x a x a a x
x x
? ? ? ? ? ? ?
函数的最大值
92 4=5
2
a a? ? ? ，舍去
②当 4a ? 时， ? ? 4 4 5f x x a a x
x x
? ? ? ? ? ? ? ，此时命题成立
③当4则
4 5
4 5
a a a a
a a
? ? ? ? ? ??
? ? ? ???
或
4 5
5 5
a a a a
a a
? ? ? ? ? ??
? ? ? ???
，解得
9
2
a ? 或 9
2
a ?
综上所得则实数ａ的取值范围为
9,
2
? ???? ???
（1）对于形如 ( 0, 0)by ax a b
x
? ? ? ? 的函数，在 (0, )?? 上的单调性为：在 (0, )b
a
上递减， ( , )b
a
?? 递增；
（2）分析绝对值函数，首先要分析绝对值里面的部分正负，然后去掉绝对值进行分析.
14． 3
2
,2
根据复合函数的单调性可得 g x =? x2 + ax 在区间 1, 3
2
上单调递减，且 g(x)在区间 1, 3
2
上恒为正数，由此列不等式组
求解即可.
15
设 t = ? x2 + ax，则 y = lgt 单调递增，
∵ f(x) = lg( ? x2 + ax)在区间 1, 3
2
上单调递减，
所以 t = ? x2 + ax = g(x)在区间 1, 3
2
上单调递减，
且 g(x)在区间 1, 3
2
上恒为正数，
∴
a
2
≤ 1
? 3
2
2
+ 3
2
a > 0
，解得
3
2
< a ≤ 2，
即实数 a 的取值范围是 3
2
,2 ，故答案为 3
2
,2 .
本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的
单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是
同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.
15．
9 , 2
4
? ?? ?? ?? ?
根据 ? ?f x 单调性可得 ? ?? ?
f m n
f n m
? ??
? ???
，设 3m p? ? ， 3n q? ? ，由m n? 可整理出1 p q p p? ? ? ? ，从而求
得
10
2
p? ? ，将方程组变为
2
2
3
3
p t q
q t p
?? ? ? ?
?
? ? ? ??
，整理可得
21 9
2 4
t p? ?? ? ?? ?
? ?
，根据 p的范围求得 t的取值范围.
? ? 3f x x t? ? ? ? 在[ 3, )? ?? 是减函数
? ?
? ?
f m n
f n m
? ???? ???
即：
3
3
m t n
n t m
?? ? ? ??
?
? ? ? ???
……①
设 3m p? ? ， 3n q? ?
2 3m p? ? ， 2 3n q? ? ， 1p q? ?
由m n? ，得 p q? 1 p q p p? ? ? ? ? 10
2
p? ? ?
则①变为：
2
2
3
3
p t q
q t p
?? ? ? ?
?
? ? ? ??
? ? 2 22 6p q t p q?? ? ? ? ? ? ，
即： 2 21 2 (1 ) 6t p p? ? ? ? ? ?
22 2
2(1 ) 5 1 92
2 2 4
p pt p p p? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
9 2
4
t?? ? ? ?
16
本题正确结果：
9 , 2
4
? ?? ?? ?? ?
本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的
方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.
16． 4,5
由题意结合不等式的性质分类讨论
20
n
? m ≥ 0，且 ln m
n
≥ 0，或20
n
? m ≤ 0，且 ln m
n
≤ 0，两种情况求解实数 m 的取
值范围即可.
【详解】
由题意，
20
n
? m ≥ 0，且 ln m
n
≥ 0，或20
n
? m ≤ 0，且 ln m
n
≤ 0，
∴m ≤ 20
n
，且
m
n
≥ 1，或 m ≥ 20
n
，且 0 < m
n
≤ 1，∴n? m? 20
n
，或
20
n
≤ m ≤ n，∵n为正整数，
∴n=4 或 5，∴4? m? 5，故答案为：[4,5].
本题主要考查不等式的性质，分类讨论的数学思想，对数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
解能力.
17．(1)证明见解析；(2) ( )f x 是奇函数；(3){ | 6}x x≤ .
试题分析：（1）赋值法，令 x=y=0 可证得 f（0）=0；（2）令 y=﹣x 代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得 f
（x）是奇函数；（3）设 x1＜x2，由主条件构造 f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）由 x＜0 时 f（x）＞0 可证得函数的单调
性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
试题解析：
（1）证明：令 0x y? ? ， ? ? ? ? ? ?0 0 0f f f? ? ，
∴ ? ?0 0f ? ，
（2）令 y x? ? ，
∴ ? ? ? ? ? ?0 0f f x f x? ? ? ?
∴ ? ? ? ?f x f x? ? ? .
∴函数 ? ?f x 是奇函数.
（3）设 1 2x x? ，则 1 2 0x x? ? ，
∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 0f x f x f x f x f x x? ? ? ? ? ? ?
∴ ? ?f x 为 R上减函数.
∵ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 12f x f x f x f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ?12 4 1 4f f? ? ? .
17
∴ 2 4x ? ? 即 6x ? .
∴不等式 ? ? ? ?2 2 12f x f x? ? ? ? 的解集为{ | 6}x x ? .
18．（1）
9
4
? ??? ?? ?
? ?
， ；（2） ? ? ? ?0 1?? ? ??， ， .
（1）对任意 ( ) 0x R f x m? ? ?， 恒成立，即有 min(x)m f?
（2）函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x? ? 有且只有两个零点.
y k? ? 与
2 3 | |( )
1
x xh x
x
?
?
?
的图象有两个交点．根据图象可得，实数 k的取值范围．
解：（1） 2 3f x x x? ?（ ） 的定义域为 R，
2 2( ) 3 ( ) 3 ( )（- ）f x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ，
故函数 ( )y f x? 关于 y 轴对称，
当 0x ? 时， 2 3（ ）f x x x? ? ，
当
3
2
x ? 时， min
3 9( ) ( )
2 4
f x f? ? ? ，
对任意 , ( ) 0x R f x m? ? ? 恒成立，即有 min( )m f x? ，
故实数m的取值范围为 9
4
?? ?（ ， ）．
（2）显然 1x ? 不是函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x? ? 的零点．
故函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x? ? 有且只有两个零点．
y k? ? 与
2 3 | |( )
1
x xh x
x
?
?
?
的图象有两个交点．
当 BC AP??
???? ????
时，
2 23 | | 3( )
1 1
x x x xh x
x x
? ?
? ?
? ?
，
2 2 2
2 2
3 (2 3)( 1) ( 3 ) 2 3( ) ( ) 0
1 ( 1) ( 1)
x x x x x x x xh x
x x x
? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ? ?
恒成立，
故函数 ( )y h x? 在 (0,1)单调递增，在 (1, )?? 单调递增，
且当 (0,1)x? 时， 1x? 时，函数 ( )h x ???，
当 (1, )x? ?? 时， 1x? 时，函数 ( )h x ???，
18
x??? 时，函数 ( )h x ???，
当 0x ? 时，
2 23 | | 3( )
1 1
x x x xh x
x x
? ?
? ?
? ?
，
2 2 2
2 2 2
3 (2 3)( 1) ( 3 ) 2 3 ( 3)( 1)( ) ( )
1 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x xh x
x x x x
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ? ? ?
令 ( ) 0h x? ? ，因为 0x ? ，故解得 1x ? ? ，
当
7mg
S
时， ( ) 0h x? ? ，故在 ( , 1)?? ? 单调递增，
当 ( 1,0)x? ? 时， ( ) 0h x? ? ，故在 ( 1,0)? 单调递减，
函数 ( )y h x? 的图像如图所示，
根据图象可得，实数 k的取值范围为 0 1?? ???（ ，）（ ， ）．
本题考查了函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是要能将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，并且
能准确地作出新函数的图像，然后数形结合地解决问题，属于中档题．
19．（1）见解析；（2）a > 1
8
；（3）见解析.
（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论；
（2）由 f 2x > 0 得 2x + 2a
2x
? 1 > 0，转化为 2a >? 2x 2 + 2x，设 y =? 2x 2 + 2x，利用二次函数的性质，即可求解.
（3）把函数 f(x)有 2 个零点转化为方程 2a =? x|x| + x 有两个解，令 g(x) = x ? x x ，作 y = g(x)的图像及直线 y = 2a
图像，结合图象，即可求解，得到答案.
（1）当 a = 1 时，且 x < 0 时，f(x) =? x + 2
x
? 1 是单调递减的.
证明：设x1 < x2 < 0，则 f x1 ? f x2 = ? x1 +
2
x1
? 1 ? ? x2 +
2
x2
? 1 = x2 ? x1 +
2
x1
? 2
x2
= x2 ? x1 +
2 x2?x1
x1x2
= x2 ?
x1 1 +
2
x1x2
又∵ x1 < x2 < 0, ∴ x2 ? x1 > 0 且 1 +
2
x1x2
> 0，
19
∴ f x1 ? f x2 > 0, ∴ f x1 > f x2
故当 a = 1 时，f(x)在（ ? ∞，0）上是单调递减的.
（2）由 f 2x > 0 得 2x + 2a
2x
? 1 > 0，变形为 2x 2 ? 2x + 2a > 0，即 2a >? 2x 2 + 2x，
设 y =? 2x 2 + 2x，令 t = 2x,t ∈ (0, + ∞)，则 y =? t2 + t,t ∈ (0, + ∞)，
由二次函数的性质，可得ymax =
1
4
，所以 2a > 1
4
，解得 a > 1
8
.
（3）由 f(x)=0 有 2个零点可得|x| + 2a
x
? 1 = 0 有两个解，
转化为方程 2a =? x|x| + x,x ≠ 0 有两个解，
令 g(x) = x ? x x = ? x
2 + x,x > 0
x2 + x,x < 0
，作 y = g(x)的图像及直线 y = 2a 图像有两个交点，
由图像可得：
i）当 2a > 1
4
或 2a 4
，即 a > 1
8
或 a 8
时，f(x)有 1个零点.
ii）当 a = 1
8
或 a =? 1
8
或α = 0 时，f(x)由 2 个零点；
iii）当 0 < a < 1
8
或? 1
8
< a < 0 时，f(x)有 3 个零点.
本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合
理分离参数和转化为图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应
用，试题有一定的综合性，属于中档试题.
20．（1）奇函数；（2） 1 1a? ? ? ；（3） 41
3
? ?t .
（1）若 a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围；
（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．
解：（1）函数 ? ?y f x? 为奇函数．
当 0a ? 时， ? ?f x x x x? ? ， x R? ，
20
∴ ? ? ? ? ? ?f x x x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
∴函数 ? ?y f x? 为奇函数；
（2） ? ? ? ? ? ?? ?
2
2
1 ,
1 , ( )
x a x x a
f x
x a x x a
? ? ? ??? ?? ? ? ???
，
当 x a? 时， ? ?y f x? 的对称轴为： 1
2
ax ?? ；
当 x a? 时， ? ?y f x? 的对称轴为： 1
2
ax ?? ；
∴当
1 1
2 2
a aa? ?? ? 时， ? ?y f x? 在 R上是增函数，
即 1 1a? ? ? 时，函数 ? ?y f x? 在R上是增函数；
（3）方程 ? ? ? ? 0f x tf a? ? 的解即为方程 ? ? ? ?f x tf a? 的解．
①当 1 1a? ? ? 时，函数 ? ?y f x? 在R上是增函数，
∴关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 不可能有三个不相等的实数根；
②当 1a ? 时，即 1 1
2 2
a aa ? ?? ? ，
∴ ? ?y f x? 在 1,
2
a ?? ???? ?
? ?
上单调增，在
1,
2
a a?? ?? ?
? ?
上单调减，在 ? ?,a ?? 上单调增，
∴当 ? ? ? ? 1
2
af a tf a f ?? ?? ? ? ?
? ?
时，关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根；即 ? ?
21
4
a
a ta
?
? ? ，即
? ?24 ? 4 1a t a a? ? ? ，
∵ 1a ? ，∴
1 11 2
4
t a
a
? ?? ? ? ?? ?
? ?
．
设 ? ? 1 1 2
4
h a a
a
? ?? ? ?? ?
? ?
，
∵存在 ? ?2,3a? ? 使得关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根，
∴ ? ?max1 t h a? ? ，又可证 ? ?
1 1 2
4
h a a
a
? ?? ? ?? ?
? ?
在 ? ?1,3 上单调增．
∴ ? ?max
4
3
h a ? ，∴ 41
3
t? ? ；
③当 1a ? ? 时，即 1 1
2 2
a aa ? ?? ? ，
21
∴ ? ?y f x? 在 ? ?,a?? 上单调增，在 1,
2
aa ?? ?? ?
? ?
上单调减，在
1,
2
a ?? ???? ?
? ?
上单调增，
∴当 ? ? ? ?1
2
af tf a f a?? ? ? ?? ?
? ?
时，关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根；
即
? ?21
4
a
ta a
?
? ? ? ，∵ 1a ? ? ∴
1 11 2
4
t a
a
? ?? ? ? ? ?? ?
? ?
，
设 ? ? 1 1 2
4
g a a
a
? ?? ? ? ?? ?
? ?
∵存在 ? ?2,3a? ? 使得关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根，
∴ ? ?max1 t g a? ? ，又可证 ? ?
1 1 2
4
g a a
a
? ?? ? ? ?? ?
? ?
在? ?2, 1? ? 上单调减，∴ ? ?max
9
8
g a ?
∴
91
8
t? ? ；
综上：
41
3
t? ? ．
本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．
21．（I）? | 1 0x x? ? ? 或 ?1 2x? ? ；（II） 1? .
（I）根据对数函数的增减性转化为 2 2x x? ? ，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知 ? ? xg x a? ，原不等式
可转化为
21 xk
a
?
? ?? ?? ?
? ?
在区间[2，??）上恒成立即可求解.
【详解】
（I）由已知 loga（x2－x）>loga2，
因为 0解 2 2x x? ? ，得－1解 2 0x x? ? ，得 x>1 或 x<0,
所以 x的取值范围是{x|－1（II） ? ?g x 为 ? ?f x 的反函数，所以 ? ? xg x a? ,
由已知 1 0xa k a ?? ? ? ?在区间[2，??）上恒成立，
因为 1 0xa ? ? ，所以
21 xk
a
?
? ?? ?? ?
? ?
在区间[2，??）上恒成立，
22
即 k大于等于
21 x
a
?
? ??? ?
? ?
的最大值,
因为 01
a
>1，又 x－2∈[0，??），
所以（
1
a
） 2x? 的最小值为 1，－（
1
a
） 2x? 的最大值为－1，
所以 k≥－1，
所以 k的最小值为－1.
本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.
22．（I）详见解析；（II）存在，且范围是( ? ∞,2 2].
(1) 任取x1,x2 ∈ [
2
2
, + ∞),x2 ? x1 > 0，作差 x2 ? f x1 = 2x2 +
1
x2
? 2x1 +
1
x1
= 2 x2 ? x1 +
x1?x2
x1x2
> 0,根据单调性的定义可
得结果；(2)问题转化为2m
2+1
m
≥ t 在 m ∈ [ 1
2
,2]恒成立，令 g(m) = 2m
2+1
m
，m ∈ [ 1
2
,2]，根据函数的单调性求出 g(m)的最
小值，求出 t 的范围即可．
(1)已知 f(x) = 2x + 1
x
+ 2
任取x1,x2 ∈ [
2
2
, + ∞),且△ x = x2 ? x1 > 0,
则△ y = f(x2) ? f(x1) = 2x2 +
1
x2
? (2x1 +
1
x1
) = 2(x2 ? x1) +
x1?x2
x1x2
=△ x( 2x1x2?1
x1x2
)，
∵ x2 > x1 ≥
2
2
，∴ x1x2 ≥ x1
2 ≥ 1
2
，∴ 2x1x2 ? 1 > 0，∴△ y > 0
∴ f(x)在[ 2
2
, + ∞)上单调递增
解：(2) ∵ f(x) = x + b，∴ x2 + (2 ? b)x + 1 = 0
∴ |x1 ? x2| = (x1 + x2)2 ? 4x1x2 = (b ? 2)2 ? 4
又∵ 4 ≤ b ≤ 2 + 13，∴ 0 ≤ |x1 ? x2| ≤ 3，
故只需当 m ∈ [ 1
2
,2]，使得 2m2 ? t ? m + 4 ≥ 3 恒成立，
即 2m2 ? t ? m + 1 ≥ 0 在 m ∈ [ 1
2
,2]恒成立，
也即
2m2+1
m
≥ t 在 m ∈ [ 1
2
,2]恒成立，
∴令 g(m) = 2m
2+1
m
，m ∈ [ 1
2
,2]由第(2)问可知 g(m) = 2m
2+1
m
在[ 2
2
,2]上单调递增，
同理可得 g(m) = 2m
2+1
m
在 m ∈ [ 1
2
, 2
2
]上单调递减．∴ [g(m)]min = g(
2
2
) = 2 2，∴ t ≤ 2 2
故 t 的取值范围是( ? ∞,2 2].