1.1.3 导数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解导数的几何意义．(重点)
2．能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)
3．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)
1．通过导数的几何意义的学习，培养学生的数学抽象、直观想象素养．
2．借助于求曲线的切线方程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
导数的几何意义
1．割线的斜率
已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
2．导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同． ( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．
( )
(3)函数f(x)＝0没有导函数． ( )
[解析] (1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝，其定义域为(0，＋∞)．
(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．
(3)错．函数f(x)＝0为常数函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
[解析] 由题意知f′(2)＝3.
[答案] D
3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．
[解析] 设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.
[答案] 45°
求曲线在某点处切线的方程
【例1】 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[思路探究] (1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′＝
＝
＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.
2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________．
[解析] 切线的斜率为k＝－1．
∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
[答案] x＋y－3＝0
求切点坐标
【例2】 已知抛物线y＝2x2＋1．求：
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
[思路探究] →
→→
[解] 设切点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
∴f′(x0)＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[解] ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴抛物线的切线的斜率为8.
由上例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.
即所求点的坐标为(2,9)．
1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．
2．根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
求曲线过某点的切线方程
[探究问题]
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？
提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
【例3】 已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
[思路探究] (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．
[解] (1)f′(x)＝
＝ ＝－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P， ①
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－， ②
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
2．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝
＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2).
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[解析] 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．
[答案] A
2．曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
[解析] ∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝ ＝x.
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
[答案] B
3．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
[解析] f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
[答案] x＋2y＋4＝0
4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
[解析] f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得f′(a)＞f′(b)．
[答案] ＞
5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝ ＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
课件39张PPT。第一章 导数及其应用1.1 导数
1.1.3 导数的几何意义234函数的平均变化率 567891011求曲线在某点处切线的方程 1213141516求切点坐标 1718192021求曲线过某点的切线方程 2223242526272829303132333435363738点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
[解析] 由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
[答案] D
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
[解析] 切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.
[答案] C
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)
[解析] 因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1．
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1．
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.
[答案] C
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
[解析] 设切点为(x0，y0)，
∵f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
[答案] A
5．曲线y＝在点处的切线的斜率为( )
A．2 B．－4
C．3 D.
[解析] 因为y′＝ ＝ ＝ ＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为
k＝－4，故选B.
[答案] B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
[解析] 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
[答案] ②
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是
__________.
[解析] 因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝
＝ (Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
[答案] 4x＋y－2＝0
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
[解析] 设P(x0，y0)，则
y′＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
[答案] (0,0)
三、解答题
9．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
[解] 由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，
即y＝2x＋2.
10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
[解] y′＝ ＝ ＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
[能力提升练]
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[解析] 依导数定义可求得，y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1，选C.
[答案] C
2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[解析] ∵
＝ ＝－1，
∴ ＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.
[答案] D
3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．
[解析] 设切点为P(x0，y0)．
则f′(x0)＝
＝
＝ (2ax0＋aΔx)＝2ax0，
即2ax0＝1．
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得
解得a＝.
[答案]
4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
[解] 因为f′(x)＝
＝ ＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝
＝ ＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得
