1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与幂函数的导数
1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升学生的数学运算素养.
一、几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
二、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈N＋)
y′＝nxn－1，n为正整数
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝axln a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)
y′＝
y＝ln x
y′＝
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y′＝－sin_x
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若y＝x3＋2，则y′＝3x2＋2. ( )
(2)若y＝，则y′＝. ( )
(3)若y＝e，则y′＝0. ( )
[解析] (1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.
(2)由y＝，∴y′＝－.
(3)由y＝e，∴y′＝0.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝； ②y＝，则y′＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.
[答案] C
3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A. B．10
C．10ln 10 D.
[解析] ∵f′(x)＝10xln 10，
∴f′(1)＝10ln 10.
[答案] C
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
[思路探究] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11．
(2)y′＝＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝__________.
[解析] ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
[答案] 3x2－
利用公式求函数在某点处的导数
【例2】 质点的运动方程是s＝sin t，
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
[思路探究] (1)先求s′(t)，再求s′.
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．
[解] (1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos x在处的导数．
[解] (1)∵f′(x)＝＝(x－)′＝－x－＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin x，
∴f′＝－sin ＝－.
导数公式的应用
[探究问题]
1．f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α∈Q＋)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝＝x－1，
∴(xα)′＝α·xα－1．
2．点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
提示：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
【例3】 求过曲线f(x)＝cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
[思路探究] →→
→
[解] 因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，则曲线f(x)＝cos x在点P的切线斜率为
f′＝－sin ＝－，
所以所求直线的斜率为 ，
所求直线方程为y－＝，
即y＝ x－π＋.
若将上例中点P的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程．
[解] ∵f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，
则曲线f(x)＝cos x在点P(π，－1)处的切线斜率为f′(π)＝－sin π＝0，
所以所求直线的斜率不存在，
所以所求直线方程为x＝π.
求曲线方程或切线方程时，应注意
1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.
[答案] D
2．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] 对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；
对于②，y′＝x－1＝x－，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．
[答案] B
3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
[解析] ∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1．
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．
[答案] 1
4．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.
[解析] 设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，
∴y0＝ln x0，∴ln x0＝，∴x0＝e，∴k＝.
[答案]
5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为
________.
[解析] 设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3， ①
所以k＝3x0ln 3，
所以y＝3x0ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln 3·x0＝3x0， ②
所以x0＝
＝log3 e.
所以k＝eln 3.
[答案] eln 3
课件36张PPT。第一章 导数及其应用1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与幂函数的导数
1.2.2 导数公式表及数学软件的应用2340 1 2x 50 6cos x 789101112利用导数公式求函数的导数 13141516利用公式求函数在某点处的导数 1718192021导数公式的应用 2223242526272829303132333435点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cos x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
[解析] ∵(cos x)′＝－sin x，∴A不正确；
∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．
[答案] C
2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
[解析] 切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
[答案] D
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1
[解析] 由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.
[答案] B
4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4 B．－4
C．28 D．－28
[解析] ∵y′＝3x2，
∴点(2,8)处的切线斜率
k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，
∴k－b＝28.
[答案] C
5．若f(x)＝sin x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A. B.
C.π D.π
[解析] ∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x.
又∵f′(α)＝cos α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.
[答案] A
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
[解析] 因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1．
[答案] 1
7．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
∵y′＝(ln x)′＝，
由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1．
[答案] ln 2－1
8．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
[解析] 依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
[答案] 3
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
[解] ∵s′＝()′＝(t)′＝t－，
∴v＝×8－＝×2－1＝，
∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－
＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
[能力提升练]
1．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
[解析] f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′
＝sin x，所以4为最小正周期，
故f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x.
[答案] D
2．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64 B．32 C．16 D．8
[解析] 因为y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：
y－a－＝－a(x－a)，由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，
所以·a·3a＝18，解得a＝64.
[答案] A
3．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
[解析] 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
[答案]
4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
