1.2.3 导数的四则运算法则
学 习 目 标
核 心 素 养
1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
1．通过学习导数的四则运算法则，培养学生的数学运算素养．
2．借助复合函数的求导法则的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.
一、导数的运算法则
1．和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
2．积的导数
(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．
3．商的导数
＝，g(x)≠0.
二、复合函数的概念及求导法则
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
复合函
数的求
导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝·，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2. ( )
(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x． ( )
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1． ( )
[解析] (1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c.
(2)由y＝2sin x－cos x，
则y′＝(2sin x)′－(cos x)′
＝2cos x＋sin x.
(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，
所以f′(x)＝2x＋3.
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( )
A．ex(x＋1) B．1＋ex
C．x(1＋ex) D．ex(x－1)
[解析] f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.
[答案] A
3．函数f(x)＝sin(－x)的导函数f′(x)＝________.
[解析] f′(x)＝[sin(－x)]′＝cos(－x)(－x)′
＝－cos x.
[答案] －cos x
导数四则运算法则的应用
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin cos.
[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
1．(1)设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
(2)已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．
[解析] (1)f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin，
∵θ∈，
∴sin∈，
∴2sin∈[，2]．
(2)∵f′(x)＝
＝(x≠0)．
∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
＋＝0，
解得x0＝.
[答案] (1)D (2)
复合函数的导数
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
[思路探究] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
2．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x2－1)．
[解] (1)y＝
＝
＝＝1＋.
设y＝1＋，u＝1－x，
则y′＝yu′·ux′＝(1＋)′·(1－x)′
＝·(－1)＝－.
(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，
则y′＝y′u·ux′＝·4x
＝.
导数法则的综合应用
[探究问题]
试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？
提示：函数y＝(3x＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′
＝6u＝6(3x＋2)．
【例3】 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
[思路探究] 求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．
[解] 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围．
[解] 由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
∴圆心到直线l的距离小于半径．
即d＝<.解得a>.
关于复合函数导数的应用及其解决方法
1．应用
复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
2．方法
先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．
1．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 019－8x)2 B．－24x
C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2
[解析] y′＝3(2 019－8x)2×(2 019－8x)′
＝3(2 019－8x)2×(－8)＝－24(2 019－8x)2.
[答案] C
2．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
[解析] y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
[答案] B
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
[解析] f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.
[答案]
4．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
[答案] y＝3x
5．求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1．
[解] (1)函数y＝cos(x＋3)可以看作函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(x＋3)′
＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1．
课件37张PPT。第一章 导数及其应用1.2 导数的运算
1.2.3 导数的四则运算法则y对u的导数与u对x的导数的乘积y＝f(g(x))x的函数导数四则运算法则的应用 复合函数的导数 导数法则的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A. B.
C. D.
[解析] f′(x)＝
＝.
[答案] A
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
[解析] y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋
x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··
(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
[答案] B
4．函数f(x)＝x＋xln x在(1,1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y＋1＝0
[解析] ∵f′(x)＝(x＋xln x)′
＝1＋x′ln x＋x(lnx)′
＝1＋ln x＋1＝2＋ln x，
∴f′(1)＝2＋ln 1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
[答案] B
5．函数y＝cos 2x＋sin的导数为( )
A．－2sin 2x＋ B．2 sin 2x＋
C．－2sin 2x＋ D．2sin 2x－
[解析] y′＝－sin 2x·(2x)′＋cos ·()′
＝－2sin 2x＋·cos
＝－2sin 2x＋.
[答案] A
二、填空题
6．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
[解析] 设P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．
[答案] (e，e)
7．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
[解析] ∵f′(x)＝f′cos x－sin x，
∴f′＝f′cos －sin ＝－1，
∴f′(x)＝－cos x－sin x，
∴f′＝－cos －sin ＝－.
[答案] －
8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.
[解析] ∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，
∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2 sin 2x.
[答案] 2sin 2x
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
[解] (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2) (－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin xcos x.
(3)设y＝sin u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝＝.
10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．
[解] 因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sin x×(sin x)′
＝2×2sin x×cos x＝2sin 2x，
所以k＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升练]
1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是( )
A．2 cos B．cos 2x－sin 2x
C．sin 2x＋cos 2x D．2cos
[解析] ∵y′＝(sin 2x－cos 2x)′
＝(sin 2x)′－(cos 2x)′
＝cos 2x·(2x)′＋sin 2x·(2x)′＝2cos 2x＋2sin 2x
＝2＝2cos，
故选A.
[答案] A
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
[答案] D
3．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为______________．
[解析] 因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以k＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
[答案] 5x＋y－3＝0
4．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
[解] f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1．
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.
