1.3 导数的应用
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升学生的数学抽象素养．
2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
用函数的导数判定函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增． ( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
[解析] 由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.
[答案] B
3．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
[解析] ∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
[答案] (1，＋∞)
单调性与导数的关系
【例1】 (1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是
[－1,5]；
②函数y＝f(x)的值域是
(－∞，0]∪[2,4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
[思路探究] 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[解析] (1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.
(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
[答案] (1)A (2)D
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
A B C D
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
A B C D
[解析] (1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
[答案] (1)D (2)A
利用导数求函数的单调区间
【例2】 求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间．
[思路探究] 求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．
[解] f(x)＝x＋的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
当a>0时，
令f′(x)＝1－>0，解得x>或x<－；
令f′(x)＝1－<0，解得－当a<0时，f′(x)＝1－>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，0)和(0，)．
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
4．结合定义域写出单调区间．
2．(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析] (1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，
由f′(x)＝ex－e>0，可得x>1．
即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为
(1，＋∞)，故选D.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.
[答案] (1)D (2)B
已知函数的单调性求参数的取值范围
[探究问题]
1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．
提示：由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
2．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1,1)，如何求a的取值范围．
提示：由f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
【例3】 已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
[思路探究] (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．
[解] y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)最小值．
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x>或x<－.
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以＝1，即a＝3.
将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
[解] y′＝3x2－a，
当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．
当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝或x＝－(舍去)．
依题意，有>1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞)．
1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
[答案] D
2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
[解析] 因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
[答案] A
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
[解析] f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
[答案] (1,2)
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
[解析] f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.
[答案]
5．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[解] h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
所以a≥G(x)最大值，
而G(x)＝－1．
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)最大值＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1,4]，
所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
课件42张PPT。第一章 导数及其应用1.3 导数的应用
1.3.1 利用导数判断函数的单调性23456789单调性与导数的关系 1011121314151617利用导数求函数的单调区间 181920212223已知函数的单调性求参数的取值范围 242526272829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
[解析] 因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0即函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.
[答案] B
2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
[解析] 由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.
[答案] C
3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
[解析] f′(x)＝3ax2－1．因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.
[答案] A
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
[解析] 构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，
∴x>－1．
[答案] B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－， )
[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.
[答案] B
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为
__________.
[解析] 令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得[答案]
7．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．
[解析] y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1．
[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
[解析] 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
[答案] (0，＋∞)
三、解答题
9．定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f(x)的解析式．
[解] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，
所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0. ①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0， ②
又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1， ③
由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝x3－x＋3.
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
[解] 因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
[能力提升练]
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
[解析] 由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.
[答案] D
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
[解析] 因为＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.
[答案] C
3．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
[解析] f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－3＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
[答案]
4．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
[解] (1)∵f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a
＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
