1.3.2 利用导数研究函数的极值
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)
2．会求函数的极值．(重点)
3．会求函数在闭区间上的最值．
4．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点)
1．通过学习函数的极值、极值点、最值等概念，培养学生的数学抽象素养．
2．借助利用导数求函数的极值、最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
一、极值点和极值的概念
名称
定义
表示法
极
值
极
大
值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)
记作y极大＝f(x0)
极
值
极
小
值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值
记作y极小＝f(x0)
极值点
极大值点与极小值点统称为极值点
二、函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值． ( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合． ( )
(3)函数f(x)＝有极值． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
[答案] A
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①函数的最大值一定是函数的极大值；
②开区间上的单调连续函数无最值；
③函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
[答案] ②
求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝－x3＋－6；
(3)f(x)＝|x|.
[解] (1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1．
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，且y极小＝－2.
(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1．
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
单调
递减↘
极小值
单调
递增↗
无极值
单调
递增↗
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.
(3)f(x)＝|x|＝
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝0.
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同．
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．
1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________．
[解析] ∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．
[答案] 1
利用函数的极值求参数
【例2】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
[思路探究] (1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．
[解] (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴
∴a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1．
∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
单调递减↘
－
单调递增↗
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
[解] f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
求函数的最值
[探究问题]
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
提示：存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)．
3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
提示：不一定．也可能是区间端点的函数值．
【例3】 (1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72 B．36
C．12 D．0
(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
[解析] (1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.
(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.
[答案] (1)D (2)B
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
单调递增↗
极大
值4
单调递减
↘
极小
值3
单调递增
↗
极大值4
单调递减
↘
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数的定义域；
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步，求极值、端点值，确定最值．
3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________.
[解析] f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1．
[答案] 1
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] 依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.
[答案] B
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
[解析] 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．
[答案] C
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
[解析] ∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1．
[答案] a＜－1
4．函数y＝在[0,2]上的最大值为________．
[解析] ∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.
∴f(x)最大值＝f(1)＝.
[答案]
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
[解] (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1．
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，
最小值为－.
课件44张PPT。第一章 导数及其应用1.3 导数的应用
1.3.2 利用导数研究函数的极值234f(x)最小值7891011求函数的极值 12131415161718利用函数的极值求参数 1920212223242526求函数的最值 2728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[解析] 根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．
[答案] B
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
[解析] f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，
f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
[答案] D
3．已知函数f(x)＝x2－2(－1)k ln x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是( )
A．{2,4,6,8，…} B．{0,2,4,6,8，…}
C．{1,3,5,7，…} D．N＋
[解析] ∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*)
要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解．
∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，
所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．
[答案] A
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
[解析] 令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.
经检验，知x＝3是函数的最小值点，
所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
[答案] A
5．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B. C. D.
[解析] f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
[答案] C
二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．
[解析] 由f(x)＝x3－3x2＋1，
得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
[答案] 2
7．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
[解析] 设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图象与x轴有3个交点，
故
∴－2[答案] (－2,2)
8．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
[解析] 由f(x)＝＋2ln x，得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1．要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
[答案] [e，＋∞)
三、解答题
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
[解] (1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
[解] 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为，极小值为－
[解析] f′(x)＝3x2－2px－q，
依题意知，∴
解得p＝2，q＝－1．
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
∴当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝时，函数有极大值，f＝－2×＋＝，
当x＝1时，函数有极小值，f(1)＝1－2＋1＝0，
故选A.
[答案] A
2．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
A. B. C. D.
[解析] 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
[答案] C
3．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是__________．
[解析] 由题意，知f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±.
因为函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，
所以f()＝2，f(－)＝6，即()3－3a＋b＝2，(－)3＋3a＋b＝6，解得a＝1，b＝4.
所以f′(x)＝3x2－3，令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
[答案] (－1,1)
4．设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
[解] 令g(x)＝f(x)－ax，
由g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立，)
所以当a≤2时，g(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax，
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为
x1＝ln<0，x2＝ln>0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.
