1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)
2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)
3．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)
1．通过定积分概念的学习，培养学生的数学抽象素养.
2．借助对定积分的几何意义的理解和性质的应用，提升学生的直观想象、数学运算素养.
一、曲边梯形
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)．
二、定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1．记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝(ξi)Δxi，当λ→0时，如果和式的极限
存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
三、定积分的性质与几何意义
1．定积分的性质
(1)cf(x)dx＝cf(x)dx(c为常数)．
(2)设f(x)，g(x)可积，则[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx.
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分f(x)dx的几何意义．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x)dx＝f(t)dt. ( )
(2)f(x)dx的值一定是一个正数． ( )
(3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．填空
(1)由y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．
(2)f(x)dx＝f(x)dx＋__________.
(3)2xdx__________2xdx.(填“<”“＝”或“>”)
[答案] (1)cos xdx (2)f(x)dx (3)<
求曲边梯形的面积
【例1】 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
[思路探究] 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
[解] (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，
简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈－(ξi)Δx＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－·n(n－1)(2n－1)＋·＝－＝－.
(4)取极限
当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，
此时－趋向于S.从而有
S＝ ＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1．
第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．
1．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
[解] (1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：，，…，，
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si，
(2)近似代替
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于
f.
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi
≈ΔSi′＝fΔx＝
·＝
(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′＝＝＋＋…＋
＝n＝n＝.
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限
分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝Sn＝.
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
利用定义求定积分
【例2】 利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．
[思路探究] 根据定积分的意义，分四步求解，即分割，近似代替，求和，取极限．
[解] 令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝·Δx＝·＝＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝×＋5＝－.
(3)取极限
(3x＋2)dx＝Sn＝ ＝.
利用定义求定积分的步骤
2．利用定积分的定义，计算(x＋1)dx的值．
[解] f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个区间的长度为Δx＝，
在上取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
∴f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，
∴(ξi)·Δx＝·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋＝2＋－＝－，
∴(1＋x)dx＝ ＝.
定积分的几何意义
【例3】 利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)dx；(2)(2x＋1)dx；
(3)(x3＋3x)dx.
[思路探究] 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．
[解] (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示．
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知(2x＋1)dx＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
上例(1)中变为dx，如何求解？
[解] 由y＝，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈，
其图象如图所示：
由定积分的几何意义，
知dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××32－×3×＝，
S矩形＝|AB|×|BC|＝2××＝，
∴dx＝＋＝.
1．定积分的几何意义的应用
(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．
2．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
(1)若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则＝0.
(2)若偶函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则＝2f(x)dx.
定积分性质的应用
[探究问题]
1．怎样求分段函数的定积分？
提示：可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
2．怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？
提示：①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，
则f(x)dx＝0；
②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，
则g(x)dx＝2g(x)dx.
【例4】 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝，x＝2；
(2)y＝x－2，x＝y2.
[思路探究] 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
[解] (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．
设此面积为S，则S＝(－0)dx＝dx.
(1) (2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．
设面积为S，则S＝A1＋A2.
因为A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成，
所以A1＝[－(－)]dx＝2dx，
A2＝[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx.
故S＝2 dx＋(－x＋2)dx.
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
3．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)dx；(2)(2x2－x＋1)dx.
[解] (1)(2x＋x2)dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx＝2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
[解析] 作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
[答案] C
2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.2xdx B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx D.(1－2x)dx
[解析] 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.
[答案] B
3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为__________．
[解析] 每个小区间长度为＝.
[答案]
4．若[f(x)＋g(x)]dx＝3，[f(x)－g(x)]dx＝1，
则[2g(x)]dx＝________.
[解析] [2g(x)]dx
＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx
＝[f(x)＋g(x)]dx－[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.
[答案] 2
5．用定积分的几何意义求dx.
[解] 由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－.
S矩形＝|AB|·|BC|＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
课件53张PPT。第一章 导数及其应用1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形面积与定积分y＝f(x) 被积函数积分下限积分上限可积f(x)≥0 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 求曲边梯形的面积 利用定义求定积分 定积分的几何意义 定积分的几何意义 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．关于定积分m＝dx，下列说法正确的是( )
A．被积函数为y＝－x
B．被积函数为y＝－
C．被积函数为y＝－x＋C
D．被积函数为y＝－x3
[解析] 被积函数为y＝－.
[答案] B
2．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则－6f(x)dx＝( )
A．0 B．16
C．12 D．8
[解析] 偶函数图象关于y轴对称，
故f(x)dx＝2f(x)dx＝16，故选B.
[答案] B
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
[解析] 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
[答案] C
4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
[解析] 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．
[答案] D
5．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
[解析] 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．
[答案] A
二、填空题
6．定积分(－3)dx＝__________.
[解析] 由定积分的几何意义知，定积分
(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0
所围成图形面积的相反数．
所以(－3)dx
＝－(2×3)＝－6.
[答案] －6
7．定积分|x|dx＝__________.
[解析] 如图，|x|dx＝＋2＝.
[答案]
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
[解析] 如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.
[答案] dx
三、解答题
9．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.
[解] (1)3x3dx＝3x3dx
＝3
＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6
＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
10．利用定积分的几何意义，求dx的值．
[解] y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，
所以dx＝S半圆＝π.
[能力提升练]
1．设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )
A．S＝(x2－x)dx
B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy
D．S＝(y－)dy
[解析] 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，
选B.
[答案] B
2．已知和式S＝(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为( )
A.dx B.xpdx
C.dx D.pdx
[解析] S＝＋＋＋…＋
＝·，
∴·＝xpdx.
[答案] B
3．定积分2 019 dx＝________________.
[解析] 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝
2 018，x＝2 019与y＝2 019，y＝0所围成矩形的面积，所以2 019dx＝(2 019－2 018)×2 019＝2 019.
[答案] 2 019
4．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
[解] 将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈F·Δx＝k··(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Wn＝Wi≈··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＝.
从而得到W的近似值
W≈Wn＝.
(4)取极限
W＝Wn＝Wi
＝ ＝.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
