1.4.2 微积分基本定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)
2．能用微积分基本定理求定积分．(难点)
3．能用定积分解决有关的问题．
1．通过微积分基本定理的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.
2．借助定理求定积分和利用定积分求参数，提升学生的数学运算素养.
微积分基本定理
1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．
2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
f(x)dx＝F(b)－F(a)．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．
( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0. ( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )
A．f(x)＝x－2
B．f(x)＝x－2＋C
C．f(x)＝x2－2x＋C
D．f(x)＝x2－2x
[解析] 由微积分基本定理知，f′(x)＝x－2，
∵＝x－2，
∴选C.
[答案] C
利用微积分基本定理求定积分
【例1】 (1)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
(2)求下列定积分．
①(x2＋2x＋3)dx；
②sin2dx.
[解析] (1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1＝e.
[答案] C
(2)①(x2＋2x＋3)dx
＝x2dx＋2xdx＋3dx
＝＋x2＋3x＝.
②sin2＝，
而＝－cos x＝sin2，
∴sin2dx＝
＝－＝.
求简单的定积分关键注意两点
1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．
2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
1．(1)若(kx＋1)dx＝2，则k的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)dx＝________.
[解析] (1)(kx＋1)dx＝＝k＋1＝2，∴k＝2.
(2)dx＝dx
＝
＝－(ln 1＋1)＝ln 2－.
[答案] (1)B (2)ln 2－
求分段函数的定积分
【例2】 计算下列定积分．
(1)f(x)＝求f(x)dx；
(2)|x2－1|dx.
[思路探究] (1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
[解] (1)f(x)dx＝sin xdx＋1dx ＋(x－1)dx＝(－cos x)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
2．计算定积分： (|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
[解] 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，
则f(x)＝
利用定积分求参数
[探究问题]
1．满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？
提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．
2．如何求对称区间上的定积分？
提示：在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．
【例3】 已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
[思路探究] 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．
[解] 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①
又f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，所以＋b＝1．②
由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.
1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
上例中，若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)”，其余条件不变，求f(x)的解析式．
[解] ∵函数的图象过点(1,4)，∴a＋b＝4， ①
又f(x)dx＝(ax2＋bx)dx＝＝＋，∴＋＝1，②
由①②得a＝6，b＝－2，
所以f(x)＝6x2－2x.
1．下列值等于1的是( )
A.xdx B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
[解析] 选项A，因为＝x，所以xdx＝＝；选项B，因为＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；选项D，因为＝，
所以dx＝x＝.
[答案] C
2． (sin x＋cos x)dx的值是( )
A．0 B. C．2 D．4
[解析] (sin x＋cos x)dx＝sin xdx＋
[答案] C
3．计算x2dx＝________.
[解析] 由于＝x2，所以x2dx＝x3＝.
[答案]
4.(1＋)dx等于________．
[解析] (1＋)dx＝(＋x)dx＝
＝－
＝45.
[答案] 45
5．已知f(x)＝ax＋b，且f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．
[解] 由f(x)＝ax＋b，f2(x)dx＝1，
得2a2＋6b2＝3,2a2＝3－6b2≥0，所以－≤b≤，
所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋＝－3＋，所以－≤f(a)≤.
课件34张PPT。第一章 导数及其应用1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.2 微积分基本定理234差 F(b)－F(a) 原函数 56789利用微积分基本定理求定积分 101112131415求分段函数的定积分 161718192021利用定积分求参数 222324252627282930313233点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．dx等于( )
A．－2ln2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
[解析] dx＝ln x|＝ln 4－ln 2＝ln 2.
[答案] D
2．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
[解析] ∵a＝xdx＝＝，
b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，
∴a>b>c.
[答案] A
3．已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
[解析] (kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，∴k＝2.
[答案] A
4．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx＝( )
A．3 B．4
C． D．
[解析] 因为f(x)＝2－|x|＝所以
f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋
＝＋2＝.
[答案] C
5．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A. B.
C. D.
[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
[答案] D
二、填空题
6．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于__________．
[解析] (2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍)或k＝1．
[答案] 1
7．设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________ .
[解析] 由得x＝±1．如图，由对称性可知，S＝2＝2＝.
[答案]
8．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
[解析] 因为f(1)＝lg 1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，
所以a＝1．
[答案] 1
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)dx；
(2) (cos x＋2x)dx.
[解] (1)∵dx＝dx
＝[ln x－ln(x＋1)]＝ln .
(2) (cos x＋2x)dx＝
＝2＋(2－2)．
10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，
f(x)dx＝，求f(x)．
[解] 因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4， ①
f′(x)＝2ax＋b，
因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1， ②
f(x)dx＝
＝a＋b＋c＝， ③
由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.
所以f(x)＝－x2＋3x＋2.
[能力提升练]
1．若dx＝3－ln 2，且a>1，则a的值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
[解析] dx＝(x2－ln x)|
＝a2－ln a－1，故有a2－ln a－1＝3－ln 2，
解得a＝2.
[答案] D
2．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为S正方形＝1，
S阴影＝(－x)dx＝＝－＝，
所以点P恰好取自阴影部分的概率为＝.
[答案] C
3．计算： (2|x|＋1)dx＝__________.
[解析] (2|x|＋1)dx＝ (－2x＋1)dx＋
(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|
＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.
[答案] 12
4．已知f(x)＝ (12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
[解] 因为f(x)＝ (12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|
＝2＋2a＋a2＝(a＋1)2＋1≥1．
所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1．
