2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)
2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)
3．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)
通过归纳推理和类比推理学习，培养学生的逻辑推理素养.
一、推理与合情推理
1．推理的定义
根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．
2．推理的结构
推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
3．推理的分类
推理一般分为合情推理与演绎推理．
4．合情推理
前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．
二、归纳推理与类比推理
1．归纳推理
(1)定义
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
2．类比推理
(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．它属于合情推理．
(2)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理． ( )
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． ( )
(3)归纳推理是由个别到一般的推理． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
[解析] 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
[答案] D
3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝___________________________________________________，
an＝________(n>1，n∈N＋)．
[解析] 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N＋)．
[答案] 15 3n－3
数、式中的归纳推理
【例1】 (1)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 019(x)的表达式为________．
(2)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为________．
(3)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为__________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
[思路探究] 结合数或式子的结构特征，提炼结论．
[解析] (1)由题意f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，
fn(x)＝f(fn－1(x))＝…＝，
故f2 019(x)＝.
(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(3)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
根据前几项可以猜想fn(x)＝.
[答案] (1)f2 019(x)＝ (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
(3)f3(x)＝ fn(x)＝
进行数、式中的归纳推理的一般规律
1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(a∈N＋)，则可归纳猜想{an}的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
(2)已知＜，＜，＜，…，推测猜想一般性结论为________．
[解析] (1)由已知得a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，由此可猜想an＝.
(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：＜(a，b，m均为正数，且a＞b)．
[答案] (1)B (2)＜(a，b，m均为正数，且a＞b)
几个图形中的归纳推理
【例2】 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．
(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．
① ② ③ ④
[思路探究] (1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．
(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．
[解析] (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1．
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.
[答案] (1)5n＋1 (2)509
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
2．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
[解析] 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.
[答案] F＋V－E＝2
3．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．
(1) (2) (3) (4) (5)
[解] 法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，
故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1．
法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……
由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．
类比推理及其应用
[探究问题]
1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
2．三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？
提示：四面体的体积等于底面积与高的积的.
【例3】 (1)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是________________________________.
(2)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
[思路探究] (1)等比数列中的商类比等差数列中的差．
(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．
[解析] (1)因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…＋10d
10个
＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.
[答案] 数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300
(2)如图①所示，由射影定理得
①
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，
所以＝＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，所以＝＋.
类比猜想：
四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
如图②，连接BE交CD于F，连接AF，
②
因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
所以AB⊥平面ACD，
而AF?平面ACD，所以AB⊥AF，
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
所以＝＋，
易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，
所以＝＋，
所以＝＋＋，猜想正确．
上例(1)中条件不变，试写出一个更为一般的结论(不必证明)．
[解] 对于任意的k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.
1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：
平面图形
空间图形
点
直线
直线
平面
边长
面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
2.中学阶段常见的类比知识点有：等差与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等．
1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．
则第n个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
[解析] 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
[答案] C
2．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1
B．an＝3n
C．an＝3n－2n
D．an＝3n－1＋2n－3
[解析] ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1．
[答案] A
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
[解析] 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
[答案] 1∶8
4．观察下列等式：
1＝1，
2＋3＋4＝9，
3＋4＋5＋6＋7＝25，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，
…
照此规律，第五个等式应为________．
[解析] 每行最左侧数分别为1,2,3，…，所以第n行最左侧的数应为n；每行的个数分别为1,3,5，…，所以第n行的个数应为2n－1．所以第5行的数依次是5,6,7，…，13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81．
[答案] 5＋6＋7＋…＋13＝81
5．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4，a5的值；
(2)猜想an.
[解] (1)a2＝＝＝，
同理a3＝＝，a4＝，a5＝.
(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想an＝.
课件57张PPT。第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理234
判断前提结论5演绎
合情可能6归纳推理
归纳7类比两类不同事物类比推理8910111213数、式中的归纳推理 141516171819202122232425几个图形中的归纳推理 2627282930313233343536类比推理及其应用3738394041424344454647484950515253545556点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
[解析] 观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，…….由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.
[答案] C
2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( )
A．an＝4n－7
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1)
D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
[解析] 当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)n＋1来控制．
[答案] C
3．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
[解析] 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
[答案] C
4．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)
[解析] A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；
B错误，因为sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；
C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≠x2＋y2；
D正确，类比的是加法、乘法的结合律．
[答案] D
5．给出下列等式：
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1 111，
1 234×9＋5＝11 111，
12 345×9＋6＝111 111，
…
猜测123 456×9＋7等于( )
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
[解析] 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111．
[答案] B
二、填空题
6．已知 ＝2· ，＝3·，＝4· ，….若＝8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
[解析] 由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71．
[答案] 71
7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________．
[解析] ∵f(2)＝，f(4)>2＝，f(8)>，f(16)>3＝，∴由此可推测一般性的结论为f(2n)≥.
[答案] f(2n)≥
8．对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有____________________________．
[解析] 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为
VO-BCD·＋VO-ACD·＋VO-ABD·＋VO-ABC·＝0.
[答案] VO-BCD·＋VO-ACD·＋VO-ABD·＋VO-ABC·＝0
三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：
(1)三角形两边之和大于第三边．
(2)三角形的面积S＝×底×高．
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.
…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
[解] 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
(2)四面体的体积V＝×底面积×高．
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
[解] (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41．
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
…
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1．
[能力提升练]
1．观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
…
可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[解析] 观察已知等式，第n个等式左边都是2n－1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n－1)2.由此可得一般结论为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
[答案] B
2．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝( )
A．2n B．n2
C．3n D．nn
[解析] ∵x＋≥2＝2，
x＋＝＋＋≥3＝3.
…
由此猜想，x＋＝＋＋…＋＋≥n＋1，
n个
所以a＝nn，选D.
[答案] D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.
[解析] 利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P-ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝.
[答案] 在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为R＝
4．如图所示，为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，问an是数列的第几项？
[解] (1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N＋.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，解得n＝98，即an是数列的第98项.
