2.1.2 演绎推理
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解演绎推理的含义．(重点)
2．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)
通过演绎推理的学习、提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
一、演绎推理
1．定义
根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．
2．特征
当前提为真时，结论必然为真．
二、三段论
1．三段论推理
(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．
(2)三段论的构成：
①大前提：提供一般性原理；
②小前提：指出一个特殊的对象；
③结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．
(3)“三段论”的常用格式
大前提：M是P；
小前提：S是M；
结论：S是P.
2．演绎推理的常见模式
(1)三段论推理
(2)传递性关系推理
用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，
其中“R”表示具有传递性的关系．
(3)完全归纳推理
把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理． ( )
(2)演绎推理的结论是一定正确的． ( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．
[解析] f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．
[答案] 小前提
3．下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
[解析] ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．
[答案] ①
把演绎推理写成三段论的形式
【例1】 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
[解] (1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法
1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．
2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
[解] (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
演绎推理的综合应用
【例2】 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[思路探究] 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．
[证明] 已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：①等腰三角形的两底角相等，
大前提
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，
小前提
∠1＝∠2.结论
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC 所截的内错角，小前提
∠1＝∠3.结论
③等于同一个量的两个量相等，
大前提
∠2，∠3都等于∠1，小前提
∠2和∠3相等．结论
即CA平分∠BCD.
④同理BD平分∠CBA.
利用完全归纳推理证明问题
[探究问题]
1．演绎推理的结论一定正确吗？
提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．
2．利用完全归纳推理证明方程ax2＋2x－a＝0有实根，a的值应分哪几种情况？
提示：分a＝0和a≠0两种情况．
【例3】 试证明函数f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，并判断其奇偶性．
[思路探究] 只须对x>0，x＝0，x<0分别说明对数的真数均大于0即可．
[解] 当x>0时，x＋>0显然成立；
当x＝0时，x＋＝1>0成立；
当x<0时，>＝|x|＝－x，
所以x＋>x＋(－x)＝0.
因此对x∈R，都有x＋>0，即函数的定义域为R.
又因为f(－x)＝ln(－x＋)
＝ln(－x)
＝ln
＝ln＝－ln(＋x)＝－f(x)．
故f(x)是奇函数．
1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．
2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．
3．求证：n∈N，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
[证明] 当n＝1时，f(1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被36整除；
当n＝2时，f(2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被36整除；
当n＝3时，f(3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被36整除；
当n＝4时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被36整除．
综上，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除.
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人
C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
[解析] A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
[答案] A
2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
[解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．
[答案] A
3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：___________________________________________；
小前提：___________________________________________；
结论：_____________________________________________.
[答案] 一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
4．如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.
[答案] 大前提 大前提
5．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)y＝x2(x∈R)是偶函数．
[解] (1)因为矩形的对角线相等，大前提
而正方形是矩形，小前提
所以正方形的对角线相等．结论
(2)因为x∈R，函数f(x)有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提
而y＝x2满足x∈R，f(－x)＝f(x)，小前提
∴y＝x2(x∈R)是偶函数．结论
