2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)
2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.
一、综合法
1．直接证明
(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．
(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．
2．综合法
(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
(2)符号表示：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论)．
二、分析法
1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
2．符号表示：
B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是执果索因的逆推证法． ( )
(2)分析法就是从结论推向已知． ( )
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是__________(填综合法、分析法)．
[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．
[答案] 综合法
3.－2与－的大小关系是________．
[解析] 假设－2>－，由分析法可得，
要证－2>－，只需证＋>＋2，
即证13＋2>13＋4，即>2.
因为42>40，所以－2>－成立．
[答案] －2>－
综合法的应用
【例1】 (1)在△ABC中， 已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是__________．
(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝__________.
(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________．
[解析] (1)∵cos Acos B>sin Asin B，
∴cos Acos B－sin Asin B>0，
∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos C<0，
又0(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，
x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.
设公比为q，则x4＝x1q3，
∴4＝·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，
由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝.
(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立)．
②a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤.
③当a与b异号时，不成立．
④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．
[答案] (1)钝角三角形 (2) (3)①②④
1．综合法处理问题的三个步骤
2．用综合法证明不等式时常用的结论
(1)ab≤≤(a，b∈R)；
(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0)．
1．综合法是( )
A．执果索因的逆推证法
B．由因导果的顺推证法
C．因果分别互推的两头凑法
D．原命题的证明方法
[答案] B
分析法的应用
【例2】 设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
[思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键．
[解] 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式成立．
1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．
2．已知a>0，－>1，求证：>.
[证明] 由已知－>1及a>0可知0，
只需证·>1，
只需证1＋a－b－ab>1，
只需证a－b－ab>0，即>1，
即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证．
综合法与分析法的综合应用
[探究问题]
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
2．综合法与分析法有什么区别？
提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
【例3】 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1．
[思路探究] 先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．
[解] 法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，
有b2＝c2＋a2－2accos 60°.
所以c2＋a2＝ac＋b2，
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1．
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.
3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.
[证明] 因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，
只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而可得不等式x＋y＋≤＋＋xy成立.
1．下面叙述正确的是( )
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D．综合法、分析法所用语气都是假定的
[解析] 直接证明包括综合法和分析法．
[答案] A
2．欲证不等式－＜－成立，只需证( )
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
[解析] 要证－＜－成立，只需证＋＜＋成立，只需证(＋)2＜(＋)2成立．
[答案] C
3．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________________，
即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．
[解析] 用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[答案] a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
[解析] 因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[答案] 9
5．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.(要求用两种方法证明)
[证明] 法一：(综合法)
因为a＞0，b＞0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥＋.
法二：(分析法)
要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
课件43张PPT。第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法234
定义公理定理综合法分析法5结果原因6
结果原因充分789101112综合法的应用 1314151617181920分析法的应用 2122232425综合法与分析法的综合应用 2627282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4 θ＝cos 2θ”的过程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ＋sin2 θ)(cos2 θ－sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
[解析] 此证明符合综合法的证明思路．故选B.
[答案] B
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
[解析] 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，
只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
[答案] D
3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么，d(ac)等于( )
A．a B．b
C．c D．d
[解析] 由运算可知，ac＝c，
∴d(ac)＝dc.
由运算可知，dc＝a.故选A.
[答案] A
4．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
[解析] ∵－<0，－<0，
故－<－?＋<＋?(＋)2<(＋)2.故选C.
[答案] C
5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)>sin α＋sin β
B．sin(α＋β)>cos α＋cos β
C．cos(α＋β)>sin α＋sin β
D．cos(α＋β)[解析] 因为0<α<，0<β<，
所以0<α＋β<π，
若≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，
因为cos α>0，cos β>0.
所以cos α＋cos β>cos (α＋β)．
若0<α＋β<，则α＋β>α且α＋β>β，
因为cos(α＋β)所以cos(α＋β)总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)[答案] D
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
[解析] 该证明方法是“由因导果”法．
[答案] 综合法
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________．
[解析] 要使a>b，
只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，
即a>b>0.
[答案] a>b>0
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________．
[解析] 若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.
[答案]
三、解答题
9．已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点．
(1)求弦AB的长；
(2)求三角形ABO的面积．
[解] (1)由题意得，直线L的方程为y＝(x－1)，
代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
由抛物线的定义，得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
(2)点O到直线AB的距离d＝＝，所以三角形OAB的面积为S＝|AB|·d＝.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
[证明] 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2 absin C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升练]
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D．
[解析] 是3a与3b的等比中项?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝?ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
[答案] B
2．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析] 令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.
因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，
即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，
解得－2[答案] B
3．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________．
[解析] a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0
?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
[答案] a≥0，b≥0且a≠b
4．已知α，β≠kπ＋，(k∈Z)且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β.求证：＝.
[证明] 要证＝成立，
即证＝.
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1，
因为sin θ＋cos θ＝2sin α，
sin θcos θ＝sin 2β，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2 α，
即4sin2α－2sin2β＝1．故原结论正确.
