2.2.2 反证法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)
2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)
通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.
反证法
1．反证法的定义
由证明p?q转向证明： ?q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定?q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
2．常见的几种矛盾
(1)与假设矛盾；
(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法． ( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理． ( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是( )
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
[解析] 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.
[答案] B
3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．
[解析] ∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．
[答案] b与c平行或相交
利用反证法证明否定性命题
【例1】 (1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( )
A．整数 B．奇数或偶数
C．自然数或负整数 D．正整数或负整数
(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列．
[解析] (1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.
[答案] A
(2)证明：假设， ， 成等差数列，则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b.
又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
即b＝，所以a＋c＋2＝4，
所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，
所以＝，从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故， ， 不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．反证法证明问题的一般步骤
1．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
[证明] 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{Sn}不是等比数列．
利用反证法证明存在性命题
【例2】 已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．
[解] 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.
∴≥>＝.
同理>，>.
三式相加得＋＋>，
即>，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[证明] 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1．
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
利用反证法证明唯一性命题
[探究问题]
反证法解题的实质是什么？
提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．
【例3】 已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．
[思路探究] “有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．
[解] 因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m?α，
即过a，b，m有一个平面α，如图．
假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，
则a?α，b?α，a?β，b?β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．
因此，过a，b，m有且只有一个平面．
用反证法证明唯一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：
f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[证明] 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
[解析] 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
[答案] D
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
[解析] “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
[答案] B
3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
[解析] “p且q”的否定形式为“?p或?q”．
[答案] x≠0或y≠0
4．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．
[解析] “x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．
[答案] x＝a或x＝b
5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
[证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
课件33张PPT。第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法公认的简单事实已被证明了的结论数学公理q为真真命题假设利用反证法证明否定性命题 利用反证法证明存在性命题 利用反证法证明唯一性命题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
[解析] “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．
[答案] D
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[解析] 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
[答案] A
3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.
[答案] C
4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
[解析] 假设a＋，b＋，c＋三个数都小于2，则必有a＋＋b＋＋c＋<6，而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．
[答案] D
5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
[解析] “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.
[答案] C
二、填空题
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是______________________________________．
[解析] “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．
[答案] 没有一个面是三角形或四边形或五边形
7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
[解析] 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1．
则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.
[答案] ③
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．①
因7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③
②与③矛盾，故p为偶数．
[解析] 由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，
这与0为偶数矛盾．
[答案] ①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
三、解答题
9．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．
[证明] 假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，
由0解得故方程f(x)＝0没有负数根．
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.
[证明] 假设a，b，c都小于等于，
即a≤，b≤，c≤.
∵abc＝1，∴a，b，c三数同为正或一正两负．
又a＋b＋c＝0，
∴a，b，c只能是一正两负，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0.
则b＋c＝－a，bc＝，
∴b，c为方程x2＋ax＋＝0的两根，
∴Δ＝a2－≥0，即a3≥4.
∴a≥ ＞＝，这与a≤矛盾，
∴a，b，c中至少有一个大于.
[能力提升练]
1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )
A．命题：若a>b>0，则>.用反证法证明：假设>不成立，则<.若<，则ab矛盾．故假设不成立，结论>成立
B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0.
用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0
C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2∵－2D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知相矛盾．∴原命题成立
[解析] A．反证法中的反证不全面，“>”的否定应为“≤”．
B．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．
C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．
[答案] D
2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.
[答案] C
3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．
[解析] 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
[答案] ③①②
4．已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立．
[证明] 假设an≥3(n≥2)，
则由已知得an＋1＝f(an)＝，
所以当n≥2时，＝＝·
≤＝＜1(因为an－1≥3－1)，
又易证an>0，所以当n≥2时，an＋1所以当n＞2时，an而当n＝2时，a2＝＝＝＜3，
所以当n≥2时，an<3；
这与假设矛盾，故假设不成立，
所以当n≥2时，恒有an<3成立．
