2.3 数学归纳法
2.3.1 数学归纳法
2.3.2 数学归纳法应用举例
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)
2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
1．通过数学归纳法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.
2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升学生数学运算素养.
数学归纳法
数学归纳法的定义
一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；
(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．
( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1． ( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝( )
A．a1＋(k－1)d B.
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
[解析] 假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
[答案] C
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；
②证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立；
③不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．
[答案] ①②
用数学归纳法证明等式
【例1】 (1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________．
[解析] (1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.
(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．
[答案] (1)D (2)2(2k＋1)
数学归纳法证题的三个关键点
1．验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1．
2．递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
3．利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
1．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，
则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
[解析] A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.
故正确的是C.
[答案] C
用数学归纳法证明不等式
【例2】 (1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．
(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
[思路探究] (1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．
[解析] (1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.
[答案]
(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式．
[证明] ①当n＝2时，＋＝>.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－
>＋＋－＝＋－
＝＋>.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．
用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题
1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．
归纳——猜想——证明
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
[思路探究] (1)令n＝2,3可分别求a2，a3.
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．
[解] (1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，
ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
2．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
[解] (1)因为f(1)＝2，
f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即f(k)＝2k，
那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以，当n＝k＋1时，猜想正确．
由①②知，对任意的n∈N＋，都有f(n)＝2n.
用数学归纳法证明整除性问题
[探究问题]
1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示：不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
2．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？
提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．
【例4】 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．
[思路探究] 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．
[解] (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.
3．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．
[解析] 由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
[答案] (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
[答案] C
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
[解析] 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
[答案] B
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．
[解析] 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1．
[答案] 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
4．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
[解析] 在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1．
[答案] (2)
5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)
＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝.
所以当n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式成立．
课件50张PPT。第二章 推理与证明2.3 数学归纳法
2.3.1 数学归纳法
2.3.2 数学归纳法应用举例234自然数56789用数学归纳法证明等式 101112131415用数学归纳法证明不等式 161718192021222324归纳——猜想——证明 252627282930313233用数学归纳法证明整除性问题 34353637383940414243444546474849点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
[解析] 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
[答案] C
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
[解析] 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
[答案] D
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
[解析] 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
[答案] D
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立
[解析] 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”
[答案] D
5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确
B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确
D．命题、推理都不正确
[解析] 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
[答案] B
二、填空题
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
[解析] ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
[答案] f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7．用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是______________________________________________．
[解析] 当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.
[答案] ＋＋…＋＋>－
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________．
[解析] 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
[答案] (k＋1)2＋k2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
10．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
[能力提升练]
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
[解析] ∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.
[答案] B
2．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<
＝
＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.
[答案] D
3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________．
[解析] 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
[答案] 25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
4．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
[解] (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0?f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，
下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，f(1)＝1满足条件．
假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.
