3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 实数系
3.1.2 复数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)
2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)
3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)
通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.
一、复数的概念及分类
1．数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N――――→Z―――――→Q――――→R―――→C
2．复数的有关概念
3．复数的分类
(2)集合表示
二、两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． ( )
(3)bi是纯虚数． ( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是__________．
[解析] 当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．
[答案] ③
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．
[解析] ∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1．
[答案] 1 －1
复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．
(3)下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析] (1)复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确，故选B.
(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
[答案] (1)B (2)±，5 (3)③
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1．下列命题中是假命题的是( )
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集为实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
[解析] 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．
[答案] C
复数的分类
【例2】 (1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
[思路探究] 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．
[解析] (1)要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D.
[答案] D
(2)①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi?a，b∈R?为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
复数相等的充要条件
[探究问题]
1．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
2．3＋2i＞3＋i正确吗？
提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
得解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得a＝11或a＝－.
1．复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2?a＝c且b＝d.
2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数．
3．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．
[解] 由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.
解得y1＝－1＋，y2＝－1－.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.
即或
1．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩(SB)＝ D．(SA)∪(SB)＝C
[解析] 集合A，B，C的关系如图，可知只有(SA)∪(SB)＝C正确．
[答案] D
2．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[解析] 由复数相等的条件得
∴a＝－4.
[答案] C
3．复数(1－)i的实部为________．
[解析] ∵复数(1－)i＝0＋(1－)i，∴实部为0.
[答案] 0
4．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．
[解析] 由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1．
[答案] －1
5．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠，求整数a，b.
[解] 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i， ①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i， ②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i. ③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意．
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，
b＝－2或a＝－3，b＝－2.
课件36张PPT。第三章 数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 实数系
3.1.2 复数的概念234N C 5实数-16a≠0b＝0b≠0a＝07a＝c且b＝d 8910111213复数的概念 1415161718复数的分类 1920212223复数相等的充要条件 242526272829303132333435点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．－(2－i)的虚部是( )
A．－2 B．－
C. D．2
[解析] ∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
[答案] C
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
[解析] 复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝，故选D.
[答案] D
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
[解析] 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
[答案] B
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
[答案] A
5．复数i－2的虚部是( )
A．i B．－2
C．1 D．2
[解析] i－2＝－2＋i，因此虚部是1．
[答案] C
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
[解析] 依题意有解得m＝－3.
[答案] －3
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
[解析] 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
[答案] 3－3i
8．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
[解析] 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．
[答案] ①②③⑥
三、解答题
9．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
[解] z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0?m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[解] ∵M∪P＝P，∴M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[能力提升练]
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
[解析] ∵复数z是纯虚数，
∴∴sin θ＝且cos θ≠，∴cos θ＝－.
∴tan θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
[答案] A
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
[解析] 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以解得
所以z＝3－i.
[答案] B
3．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________．
[解析] 依题意有
解得m＝3.
[答案] 3
4．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
[解] 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．
综上可得，m＝0，n＝1．
