3.1.3 复数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)
2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)
3．掌握复数模的定义及求模公式.
通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.
一、复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
二、复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi一一对应平面向量.
三、复数的模、共轭复数
1．设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.
2．如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． ( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． ( )
(3)复数的模一定是正实数． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为( )
A．(1，i) B．(1，－i)
C．(1,1) D．(1，－1)
[解析] 复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．
[答案] D
3．已知复数z＝3＋2i，则＝________；|z|＝________.
[解析] ∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝.
[答案] 3－2i
复数与复平面内点的关系
【例1】 (1)复数z＝－1＋2i所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知复数z＝x＋1＋(y－1)i在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所成的平面区域是( )
(3)复数＝1＋i和z＝1－i在复平面内的对应点关于( )
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
[解析] (1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.
(2)由题意，得即故点(x，y)所成的平面区域为A项中的阴影部分．
(3)复数＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)．
复数z＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)．
点Z1与Z2关于实轴对称，故选A.
[答案] (1)B (2)A (3)A
解答此类问题的一般思路
1．首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
2．根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
[解] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，
点Z位于直线x－y－3＝0上.
复数与平面向量的关系
【例2】 (1)向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
[思路探究] (1)先写出向量，2的坐标，再求出1＋2的坐标．
(2)利用＝－，求出向量的坐标，从而确定表示的复数．
[解析] (1)因为向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5,4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以1＋2对应的复数是0.
(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
[答案] (1)C (2)－6－8i
上例(2)中的条件不变，试求向量－表示的复数．
[解] 由上例(2)的解析知＝(－6，－8)，
∴－＝(3,4)，所以向量－表示的复数是3＋4i.
解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．
复数的模
[探究问题]
1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i?
提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
2．若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
提示：a满足即－1＜a＜1．
【例3】 (1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A．－ B.i
C．±i D．±
(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小．
[思路探究] (1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
(2)用求模的公式直接计算．
(1)[解析] 设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D.
[答案] D
(2)解：因为z1＝6＋8i，z2＝－－i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝＝.
因为10>，
所以|z1|>|z2|.
1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
2．(1)复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
(1)[解析] ∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．
[答案] 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆
(2)解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝ ，
由已知得<4，
∴a2<7，
∴a∈(－， ).
1．复数z＝－1＋2 019i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由－1＜0,2 019＞0得复数z＝－1＋2 019i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．
[答案] B
2．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( )
A．5 B．8
C．6 D.
[解析] |z|＝＝.
[答案] D
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
[解析] ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
[答案] (3，＋∞)
4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
[解析] ∵|z|＝2，
∴＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
[答案] (x－2)2＋y2＝8
5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得
∴z＝－15＋8i.
课件35张PPT。第三章 数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.3 复数的几何意义复平面虚轴实轴Z(a，b)
模相等互为相反数共轭复数与复平面内点的关系 复数与平面向量的关系 复数的模 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵sin 2>0，cos 2<0，
∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.
[答案] D
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
[解析] 由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
[答案] D
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[解析] 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
[答案] B
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
[解析] 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
∵|z|≥0，
∴|z|＝3，
∴复数z对应点的轨迹是1个圆．
[答案] A
5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.
[答案] B
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______.
[解析] 复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i.
[答案] －2＋3i
7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
[解析] 因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
[答案] －1－5i
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
[解析] 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
[答案] |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解] ∵复数z对应的点在第一象限．
∴
解得m<或m>.
所以实数m的取值范围为
∪.
10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和.
[解] 若两个复数a＋bi与c＋di共轭，
则a＝c，且b＝－d.
由此可得到关于x，y的方程组
解得或所以或
[能力提升练]
1．已知复数z对应的向量为O(O为坐标原点)，O与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i B．2
C．(－1, ) D．－1＋i
[解析] 设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos 120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin 120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1, )，∴z＝－1＋i.
[答案] D
2．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
[解析] e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
[答案] A
3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．
[解析] 复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.
[答案] 13
4．已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若1与2共线，求a的值．
[解] 因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以1＝(－3,4)，2＝(2a,1)．因为1与2共线，所以存在实数k使2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
