3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法与减法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)
2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)
通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.
一、复数代数形式的加减法
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．加法运算律
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数加减法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量分别为，.
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应． ( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． ( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．
[解析] ＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
[答案] 1－i
3．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，
1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，
∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.
[答案] 2i
复数的加减法运算
【例1】 (1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
(1)[解析] ＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.
[答案] 1＋i
(2)解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1．复数加减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[解析] (1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.
[答案] A
复数加减法的几何意义
【例2】 (1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[思路探究] (1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
(1)[解析] 设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.
[答案] 3＋5i
(2)解：设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得
cos∠OZ1Z＝＝－，
所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，
因此△OZ1Z2是正三角形，
所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1．
若把上例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？
[解] 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，
因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，
所以|z1＋z2|＝.
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
1．技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
复数加减法的几何意义的应用
[探究问题]
1．在实数范围内a－b＞0?a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0?z1＞z2恒成立呢？
提示：若z1，z2∈R，则z1－z2＞0?z1＞z2成立．否则z1－z2＞0?z1＞z2.
如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.
2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【例3】 复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|.
[思路探究] 首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
[解] 如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以＝－＝3＋3i－1＝2＋3i，所以||＝.
1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
2．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
[解] 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.
即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.
1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[答案] C
2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．b>0，a∈R D．a>0，b∈R
[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
[答案] D
3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则
由①可得y＝3.∴z＝3i.
[答案] 3i
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________ .
[解析] 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，∴|z－1|最小值＝1．
[答案] 1
5．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．
[解] (1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．
(2)由(1)知，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1．
解方程组
得A，B.
所以|OA|＝，|OB|＝.
因为点O到直线l的距离为，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，<，
所以集合P中复数模的最大值为，最小值为.
课件37张PPT。第三章 数系的扩充与复数3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法与减法(a－c)＋(b－d)i 复数的加减法运算 复数加减法的几何意义 复数加减法的几何意义的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
[解析] z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1．
∴xy＝1．
[答案] A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．
[答案] D
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
[解析] 在平行四边形ABCD中，＝B＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i，故选D.
[答案] D
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．
[答案] B
5．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
[解析] ∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
[答案] D
二、填空题
6．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．
[解析] 依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，
而|4－3i|＝＝5，
所以＝5，即b＝0.
[答案] 1
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
[解析] z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
[答案] 5－9i －8－7i
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
[解析] 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1．
[答案] 2＋1
三、解答题
9．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
[解] (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解] ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
[能力提升练]
1．如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
[解析] 由题图可知，＋Q＝0，∴＋－＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.
[答案] D
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
[解析] 由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
[答案] C
3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
则f(z1＋z2)＝__________.
[解析] ∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋＝3＋3.
[答案] 3＋3
4．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[解] 因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i，如图①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图②中点D对应的复数为3＋7i，
图③中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
