3.2.2 复数的乘法
3.2.3 复数的除法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解复数的乘除运算法则.
2．会进行复数的乘除运算．(重点)
3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)
4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)
通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
一、复数的乘法及其运算律
1．定义
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
3．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．
4．i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1．
二、复数的除法法则
1．已知z＝a＋bi，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作，则＝－i且＝.
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
＝＝＋i.
1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] ＝＝1＋i，
∴的共轭复数为1－i，故选B.
[答案] B
2．已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
[解析] z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.
[答案] 4＋2i
3．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
[解析] ∵i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.
[答案] 2
复数代数形式的乘法运算
【例1】 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.
[解析] (1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.
∴＝2－3i.故选C.
(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.
[答案] (1)D (2)C (3)5－5i
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，
z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.
∵z1·z2是纯虚数．
∴解得或
∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.
[答案] 4＋3i或－4－3i
复数代数形式的除法运算
【例2】 ＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(2)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
[解析] (1)法一：＝＝
＝＝＝－1－i.故选D.
法二：＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．
(2)＝＝＝1－i，故选A.
[答案] (1)D (2)A
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
[解析] (1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．
∴z＝＝＝＝－i.
(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
[答案] (1)B (2)C
in的周期性及应用
[探究问题]
1．i5与i是否相等？
提示：i5＝i4·i＝i，相等．
2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？
提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.
【例3】 计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 020.
[思路探究] 本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
[解] 法一：
原式＝＝＝＝0.
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，
∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，
∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 020
＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＝0.
虚数单位i的周期性
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
3．计算：···…·.
[解] ∵＝i，
∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
[解析] 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
[答案] B
2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝＝＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)，在第四象限．
[答案] D
3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
[解析] 因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
[答案] 2
4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[解析] 设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.
[答案]
5．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；(2)；
(3)(2－i)2.
[解] (1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)
＝
＝
＝＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
课件36张PPT。第三章 数系的扩充与复数3.2 复数的运算
3.2.2 复数的乘法
3.2.3 复数的除法
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
模的平方i－1－i1倒数1复数代数形式的乘法运算复数代数形式的除法运算 in的周期性及应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．i为虚数单位，＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
[解析] ＝＝＝－1．
[答案] A
2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B
C．C D．D
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点．
[答案] B
3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1 B．2
C. D.
[解析] 由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.
[答案] C
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A. B.
C．1 D．2
[解析] ∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
[答案] A
5．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B.
C．3 D.
[解析] z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
[答案] A
二、填空题
6．复数的值是________ .
[解析] ＝＝－1．
[答案] －1
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
[解析] ∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
[答案] －2
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
[解析] ∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1．
[答案] 1
三、解答题
9．计算：
(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i).
[解] (1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.
(2)原式＝(1＋i)＝1＋i.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
[解] (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升练]
1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
[解析] A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；
B，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
[答案] D
2．已知3－i＝z·(－2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵3－i＝z·(－2i)，
∴z＝＝＝＝＋i.
∴其对应点的坐标为，在第一象限．
[答案] A
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________________．
[解析] z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1．
[答案] 1
4．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1．
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1．
故复数z＝1＋i.
